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#1 21-02-2018 21:48:34

gaya
Membre
Inscription : 21-02-2018
Messages : 2

Convergence d'une double somme (Séries)

Bonsoir à vous,
Je suis bloqué sur cet exercice :
[tex] \sum_{i=1}^{\infty} \sum_{j=1}^{\infty} \dfrac{1}{(i+j)^\alpha}<+\infty[/tex] si et seulement si  [tex]\alpha>2[/tex]
La réciproque me semble (intuitivement) plus simple que l'implication direct.
J'ai eu l'idée de séparer les termes :

[tex] \sum_{i=1}^{\infty} \sum_{j=1}^{\infty} \dfrac{1}{(i+j)^\alpha} =  \sum_{i=1}^{\infty} \dfrac{1}{(2i)^\alpha} + 2\times\sum_{i>j}^{\infty} \dfrac{1}{(i+j)^\alpha}[/tex]
Mais je pense pas que c'est utile.
Toutes vos pistes et indications sont les bienvenues
Merci ^^

Dernière modification par gaya (22-02-2018 09:22:37)

Hors ligne

#2 22-02-2018 14:41:33

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 5 016

Re : Convergence d'une double somme (Séries)

Bonjour,
 
  Tout étant positif, on peut sommer par paquets. Je te propose de sommer suivant la valeur de $i+j$. Autrement dit,
la convergence de $\sum_{i=1}^{+\infty}\sum_{j=1}^{+\infty}\frac1{(i+j)^\alpha}$ est équivalente à la convergence
de $\sum_{n=2}^{+\infty}\sum_{i+j=n}\frac{1}{n^\alpha}$.
Maintenant, combien y-a-t-il de couples $(i,j)$ tels que $i+j=n$, avec $i,j\geq 1$???

F.

Hors ligne

#3 24-02-2018 14:55:21

SpeakX
Membre
Inscription : 24-02-2018
Messages : 45

Re : Convergence d'une double somme (Séries)

Bonjour,
Exactement vous pouvez faire une sommation par paquet de {i+j=n}, normalement il existe (n-1) couples, comme vous pouvez utiliser le théorème de Fubini pour montrer l'implication réciproque :
On a pour $\alpha>2, (i+j)^\alpha \geq i^{\alpha/2} \times j^{\alpha/2}$, après $\frac{1}{(i+j)^\alpha} \leq \frac{1}{i^{\alpha/2}} \times \frac{1}{j^{\alpha/2}}$ et utiliser Fubini.
Ps_Riemann : La somme $\sum\limits_{n\in \mathbb{N}^*}\frac{1}{n^\alpha}$ converge quand $\alpha>1$ !

Dernière modification par SpeakX (24-02-2018 14:59:03)

Hors ligne

#4 24-02-2018 16:13:27

gaya
Membre
Inscription : 21-02-2018
Messages : 2

Re : Convergence d'une double somme (Séries)

Excusez-moi pour ma réponse tardive Fred,
Merci beaucoup, vos indications m'ont bien aidé, je vois très bien maintenant.
Merci également SpeakX.

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