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PTRK

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Le rotationnel du vecteur normal à une surface est-il nul ?

Bonjour,

Pour moi, non (cf ci-dessous) or je lis (ex   VAN BLADEL, Jean G. Electromagnetic fields. John Wiley & Sons, 2007 p 1028, (A3.23)) $ \operatorname{\textbf{rot}}\mathbf{n} \equiv 0$.

Si j'ai faux, où est-ce que je me trompe dans mon calcul ?

Soit une ellipsoïde régit par l'équation avec $a,b,c > 0$
\[ (E) \qquad ax^2 + by^2+cz^2 = 1 \quad \forall (x,y,z) \in \mathbb{R}^3\]
sa normale est
\[ \mathbf{n}= \frac{1}{\sqrt{a^2x^2 + b^2y^2+c^2z^2}}\left(ax  \mathbf{e_x} + by  \mathbf{e_y} + cz  \mathbf{e_z}\right) \quad \forall (x,y,z) \in (E)\]
et le rotationnel de cette dernière est
\[ \operatorname{\textbf{rot}}\mathbf{n}= -\frac{1}{(a^2x^2 + b^2y^2+c^2z^2)^{3/2}}\left((b^2c-c^2b)yz  \mathbf{e_x} +(c^2a-a^2c)xz \mathbf{e_y} + (a^2b-b^2a)xy  \mathbf{e_z}   \right) \quad \forall (x,y,z) \in (E)\]
Et ce dernier est non nul pour tout un tas de triplé $(a,b,c)$ .

Dernière modification par PTRK (20-02-2018 19:25:13)

Fred

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Re : Le rotationnel du vecteur normal à une surface est-il nul ?

Bonjour,

  Si on ne cherche pas à normaliser le vecteur normal d'une surface $f(x,y,z)=0$, son rotationnel est nul par le théorème de Schwarz. Si je normalise le vecteur normal, cela ne me semble plus clair du tout, et peut-être même effectivement faux!

F.

Wiwaxia

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Re : Le rotationnel du vecteur normal à une surface est-il nul ?

Bonjour,

Le malaise vient sans doute de ce qu'un malentendu s'est glissé dans l'énoncé du problème:

1°) Le vecteur unitaire normal que tu as calculé se réfère à une surface particulière - et se restreint donc à l'ensemble des points vérifiant l'équation cartésienne
ax² + by² + cz² = 1 
- tandis que l'opérateur rotationnel s'applique à une fonction vectorielle V_{(x, y, z)} définie sur $\mathbb{R}^3$ .

Tout rentre dans l'ordre si l'on considère la famille d'ellipsoïdes coaxiaux d'équation: ax² + by² + cz² = K ;
le vecteur gradient correspondant V_{(x, y, z)} = 2ax.u_x + 2ay.u_y + 2az.u_z conduit à un rotationnel nul, conformément à la relation:
Rot(Grad(U)) = 0 indirectement évoquée par Fred.

2°) C'est d'ailleurs probablement de cela qu'il s'agissait dans l'ouvrage cité, (n) pouvant correspondre au vecteur champ électrique
E = - Grad(U_{(x, y, z)}), normal en tout point à l'équipotentielle d'équation U_{(x, y, z)} = K .

3°) Il suffit de reprendre l'expression du vecteur unitaire (u) normal à une surface d'équation U_{(x, y, z)} = K
u = N^-1.Grad(U)  avec N = ║Grad(U)║
pour constater que - sauf cas très particulier - Rot(u) n'est pas identiquement nul.

Dernière modification par Wiwaxia (21-02-2018 10:17:37)

PTRK

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Re : Le rotationnel du vecteur normal à une surface est-il nul ?

Merci pour vos réponses.