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#1 09-02-2018 14:48:51

Yassine
Membre
Inscription : 09-04-2013
Messages : 1 090

un calcul révolutionnaire

Ci-après une énigme posée dans le dernier numéro de la revue Acromath. Je n'y ai pas encore réfléchi personnellement. Donc, je ne pourrai pas (encore) donner d'indication à ceux qui le demanderait

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• Calculer la racine carrée d’un nombre de 80 chiffres n’est pas très simple, même si on sait que l’entier $n$ est un carré parfait ($n=m^2$).

• Calculer la racine treizième d’un nombre $n$ de 100 chiffres est encore plus compliqué, même si on sait que $n$ est une puissance treizième exacte d’entier ($n=m^{13}$). C'est même certainement impossible de tête.
• Que penser alors du calcul de la racine 1 789-ème d’un nombre $n$ de 7 000 chiffres, même en sachant que $n$ est une puissance 1 789-ème exacte ($n=m^{1789}$).  Réussir un tel calcul de tête constituerait une révolution!

Cela semble paradoxal, mais le troisième exercice est le plus simple : vous pouvez d’ailleurs le faire vous-même.

Le second calcul est difficile sans papier, mais quelques amateurs de calcul mental en sont capables. Le premier exercice, lui, n’est, semble-t-il, pas humainement possible de tête : même les plus grands calculateurs prodiges de l’histoire n’ont jamais réussi l’extraction de la racine carrée de nombres de 80 chiffres.

Ce qui semble le plus difficile à première vue est en réalité le plus facile : c’est le paradoxe de la fausse difficulté.

Vous devez expliquer pourquoi il en est ainsi, et découvrir la méthode permettant de calculer la racine 1 789-ème d’un nombre de 7 000 chiffres.

Si vous trouvez cela trop compliqué, attaquez-vous d’abord au paradoxe lexical suivant. Pourquoi est-il faux que la racine treizième du nombre $a$ est le nombre $b$ qui, multiplié treize fois par lui-même, donne $a$ ?


L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel

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#2 10-02-2018 06:57:59

Wiwaxia
Membre
Lieu : Paris 75013
Inscription : 21-12-2017
Messages : 58

Re : un calcul révolutionnaire

Bonjour,

Un nombre (n) de 7000 chiffres vérifie les conditions: 6999 <= log(n) < 7000
et sa racine 1789me la relation: log(m) = log(n)/1789 ;
il vient par conséquent: (6999/1789) <= log(m) < (7000/1789)
soit encore:10^(6999/1789) <= m < 10^(7000/1789)
ce qui conduit à l'encadrement: 8170 < m < 8181 et donc à 10 solutions possibles.

Je ne vois pas comment aller plus loin; quelque chose m'échappe sans doute, à moins que l'énoncé n'ait pas été intégralement rapporté.

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#3 10-02-2018 11:45:40

tibo
Membre actif
Inscription : 23-01-2008
Messages : 1 036

Re : un calcul révolutionnaire

Salut,

Pas mal l'idée de passer par les log. Je n'y avais pas pensé...

Une fois que l'on connait les 10 solutions possibles, il suffit de regarder le chiffres des unités.
En effet pour tout entier $n$, $n^{1789}\equiv n [10]$.

Dernière modification par tibo (10-02-2018 13:38:14)


A quoi sert une hyperbole?
----- A boire de l'hypersoupe pardi !

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#4 10-02-2018 12:11:18

Yassine
Membre
Inscription : 09-04-2013
Messages : 1 090

Re : un calcul révolutionnaire

Bonjour,

Bonjour,
Pour l'énoncé, c'est du pur copier/coller !

D'abord, pour le paradoxe Lexical, c'est une bête question de poteaux et d'intervalle !
En effet, si on remplace 13 par 2, le paradoxe est plus apparent : Il est en effet faux de dire que "La racine carré d'un nombre $a$ est le nombre $b$ qui, multiplié par lui même deux fois donne $a$". C'est multiplié par lui même une fois !

Pour l'extraction de la racine, voici ce que j'ai trouvé. J'ai un doute, je vous demande votre relecture critique !
On note $a$ le nombre recherché.
D'abord, on remarque que $1789$ est premier. Je le note $p$ par la suite.
Avec Fermat, on a $a^p \equiv a \mod p$
Ensuite, je remarque que $a < 10^4$ (ça nécessite le calcul de $3\times 1789$ et de $4\times 1789$, facile à faire de tête)
On peut donc écrire $a=a_3 10^3 + a_2 10^2 + a_1 10 + a_0$, on a donc, en utilisant le morphisme de Frobenius :
$a^p \equiv (a_3)^p (10^3)^p + (a_2)^p (10^2)^p + (a_1)^p 10^p + a_0^p  \mod p$
Et donc
$a^p  \equiv a_3 10^3 + a_2 10^2 + a_1 10 + a_0 \mod p$
La solution est donc en lecture immédiate en regardant les 4 derniers chiffres de $a^p$

[EDIT]
Ce dernier passage est un peu douteux. Il faut que je retravaille mieux le passage d'une égalité $\mod p$ à une égalité $\mod 10^4$ pour pouvoir "lire" le résultat.

Dernière modification par Yassine (10-02-2018 12:39:26)


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#5 10-02-2018 15:01:17

Wiwaxia
Membre
Lieu : Paris 75013
Inscription : 21-12-2017
Messages : 58

Re : un calcul révolutionnaire

J'ai lu attentivement vos réponses, et je ne vois toujours pas comment extraire la solution de l'ensemble des valeurs possibles.
J'avais effectivement (mais en vain) cherché dans l'énoncé une contrainte concernant le chiffre des unités.

En introduisant en effet le quotient et le reste de la division euclidienne q = m (Div 10) et r = m (Mod 10), il vient:
m = 10.q + r d'où: mk = 10.q' + r' ,
avec: r' = rk (Mod 10) , suite périodique de courte période, de valeur 1 (dans le cas où r = 0 , 1 , 5 , ou 6), 2 (pour r = 4 ou 9) ou 4 (pour r = 2 , 3 , 7 ou 8).

L'exposant étant donné: k = 1789 = 0 (Mod 1) ou 1 (Mod 2 ou 4), il était donc à priori facile de s'assurer de la vérification d'une contrainte supplémentaire sur la liste des 10 termes possibles, situés dans [8171 ; 8180] ... Mais je ne vois toujours pas de quoi il s'agit.

PS: Je m'aperçois en corrigeant quelques inexactitudes que c'est encore plus simple que prévu: (m) et (n) admettent le même chiffre des unités.

        m       = 8171 8172 8173 8174 8175 8176 8177 8178 8179 8180
m^1789 (Mod 10) =    1    2    3    4    5    6    7    8    9    0    

Dernière modification par Wiwaxia (11-02-2018 19:06:18)

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#6 13-02-2018 14:09:06

Yassine
Membre
Inscription : 09-04-2013
Messages : 1 090

Re : un calcul révolutionnaire

Bonjour
Je pense que cette solution ne répond pas au problème posé. Elle nécessite en effet de calculer $10^{\frac{6999}{1789}}$ et  $10^{\frac{7000}{1789}}$, chose que personnellement, je ne saurais pas faire de tête.


[EDIT]
Je ne sais pas finalement, si ce que je dis est juste.
A priori, ce calcul peut être fait indépendamment du nombre de 7000 chiffres. On sait alors qu'il n'y a que 10 entiers de 7000 chiffres qui sont puissance 1789-ème d'un autre entier et on a un moyen immédiat de voir la racine de celui qui a été choisi (ils ont le même chiffre d'unité).

Dernière modification par Yassine (13-02-2018 14:16:44)


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