Bibm@th

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bienvenue dans les forums du site BibM@th, des forums où on dit Bonjour (Bonsoir), Merci, S'il vous plaît...

Vous n'êtes pas identifié(e).

#1 12-02-2018 09:23:31

bonux
Membre
Inscription : 01-12-2017
Messages : 19

relation o

Bonjour, j'essaie d'éplucher cette définition :

Définition 78. Soit V0V, et soit f,g deux fontions définies sur V0. On dit que f est négligeable devant g (ou que f est un petit o de g), et on note f = o(g), si : ∀ε > 0 ∃V ∈V ∀x ∈V0    x ∈V  ⇔ |f(x)| <=  ε|g(x)|

Je ne comprend rien du tout! V0 et V sont quoi? Des intervalles? Compris dans un autre intervalle ou ensemble V? Donc si j'essaie de déchiffrer la définition dit que dans un intervalle V0 sont définies les fonctions f et g, et cet intervalle appartient à V, qui apparemment est le voisinage d'un nombre, on dit que f est négligeable devant g si pour toute fonction ou chiffre ε positif il existe un deuxième intervalle appartenant au voisinage V et pour tout x du premier intervalle V0 : x appartient au deuxième intervalle V implique |f(x)| <=  ε|g(x)|.

ça n'a pas de sens pour moi, je ne vois donc pas comment on peut exploiter celà.

Hors ligne

#2 12-02-2018 13:20:36

Yassine
Membre
Inscription : 09-04-2013
Messages : 1 090

Re : relation o

Bonjour,
Je pense qu'il y a deux soucis avec ta définition :
1) la dernière équivalence doit être une implication plutôt.
2) Ton V semble être l'ensemble de tous les ouverts. Or, il suffit que je prenne $V = \emptyset$ pour que la condition $\forall x \in V_0,\quad x \in V \implies |f(x)| \le \epsilon |g(x)|$ soit toujours vérifiée.

Il faudrait nous donner plus de contexte (éventuellement un lien vers l'article ou le livre qui comporte cette définition).


L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel

Hors ligne

#3 12-02-2018 16:20:47

bonux
Membre
Inscription : 01-12-2017
Messages : 19

Re : relation o

Voici l'introduction à cette définition :
Soit a ∈R. On note Va l’ensemble des voisinages de a, c’est-à-dire des partiesde R de la forme ]a−η,a + η[ avec η > 0 :
Va ={]a−η,a + η[ : η ∈]0,+∞[}.
De même, on considère les ensembles des voisinages de +∞ (resp. −∞) :
V+∞ ={]C,+∞[ : C ∈R}
V−∞ ={]−∞,C[ : C ∈R}.
On notera V pour désigner Va, V+∞ ou V-∞

Hors ligne

#4 12-02-2018 17:00:21

Yassine
Membre
Inscription : 09-04-2013
Messages : 1 090

Re : relation o

Ok, ça exclue le cas $\emptyset$ dans V

Je pense qu'il doit manquer le terme "sur V0" dans ta définition :

on dit que $f$ est négligeable devant $g$ sur V0 si ...

Globalement, ce que ça dit, c'est que on peut rendre $f$ aussi petite comparé à $g$ qu'on le veut, pour peu qu'on restreigne les fonction à un ouvert plus petit.

Plus formellement, l'écriture $\forall x \in v_0 \quad x \in v \implies |f(x)| \le \epsilon |g(x)|$ peut simplement être remplacée par $\forall x \in v_0 \cap v \quad |f(x)| \le \epsilon |g(x)|$.
Ce qui peut encore se simplifier en remplaçant le $\exists v \in \textbf{V}$ par $\exists v \subset v_0$ (même si c'est un abus de notation).

Donc, ça devient,

Soit $v_0 \in \textbf{V}$, $f$ et $g$ deux fonction définie sur $v_0$. On dira que $f$ est négligeable devant $g$ sur $v_0$, qu'on notera $f=o(g)$ si
$\forall \epsilon > 0, \exists v \subset v_0, \quad \forall x \in v\ |f(x)| \le \epsilon |g(x)|$

En fait cette définition compliquée comme ça permet d'unifier 3 définitions en une seule :
- $f$ est négligeable devant $g$ au voisinage de $a$
- $f$ est négligeable devant $g$ au voisinage de $+\infty$
- $f$ est négligeable devant $g$ au voisinage de $-\infty$

Le fait de préciser $v \subset v_0$ permet d'affiner le $v$, soit en le rendant proche de $a$ pour le premier cas, soit en l'approchant de l'infini dans les deux autres cas.


L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel

Hors ligne

#5 12-02-2018 22:15:29

bonux
Membre
Inscription : 01-12-2017
Messages : 19

Re : relation o

merci Yassine, ton explication est très efficace!

Hors ligne

Réponse rapide

Veuillez composer votre message et l'envoyer
Nom (obligatoire)

E-mail (obligatoire)

Message (obligatoire)

Programme anti-spam : Afin de lutter contre le spam, nous vous demandons de bien vouloir répondre à la question suivante. Après inscription sur le site, vous n'aurez plus à répondre à ces questions.

Quel est le résultat de l'opération suivante ?47 + 12
Système anti-bot

Faites glisser le curseur de gauche à droite pour activer le bouton de confirmation.

Attention : Vous devez activer Javascript dans votre navigateur pour utiliser le système anti-bot.

Pied de page des forums