Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Marco11

Membre

Inscription : 07-09-2017

Messages : 42

Isomorphisme canonique

Bonsoir tout le monde !!
J'ai la question suivante dans un exercice : " Démontrer que $Hom(v,v'*)$ est canoniquement isomorphe à $v \otimes v'$. $v$ et $v'$ désignent deux $\mathbb{c}$-espaces vectoriels de même dimension et $v'*$ le dual de $v'$.  "
J'ai des difficultés à construite cet isomorphisme. Toute indication ou suggestion sera la bienvenue. Merci d'avance.

Yassine

Membre

Inscription : 09-04-2013

Messages : 1 090

Re : Isomorphisme canonique

Bonjour,
Une proposition de piste. A creuser ...

D'abord, si $E$ et $F$ sont deux espaces vectoriels, $E^* \oplus F$ s'identifie à $Hom(E,F)$
En effet, si $\alpha \in E^*$ et $v \in F$, tu peux leur associer canoniquement l'application linéaire dans $Hom(E,F)$ définie par $E \ni x \to \alpha(x)v$.

Donc, en posant $E=v$ et $F=v'^*$, tu as que $Hom(v,v'^*)$ s'identifie à $v^* \oplus v'^*$

Il faut maintenant montrer que $v^* \oplus v'^*$ s'identifie à $v \oplus v'$

---

L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel