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#1 04-02-2018 09:58:06

uni
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edo dans D'

Bonjour,
j'ai l'exercice suivant:
1. Trouver dans $\mathcal{D}'(\mathbb{R})$ la solution générale de l'équation
$$
T'' - 4 T=0,
$$
2. Trouver une solution particulière pour l'équation
$$
T'' - 4 T = \delta'
$$
puis déduire sa solution générale.

Voici ce que j'ai essayé de faire:
pour 1. On cherche une solution $T$ de la forme $T= e^{rx}$ où $r \in \mathbb{C}$. En l'injéctant dans l'edo, on obtient $e^{rx}(r^2 - 4)=0$ qui implique que $r=2$ ou $r=-2$. Donc la solution générale s'écrit $T= C_1 e^{2x}+ C_2 e^{-2x}$ où $C_1$ et $C_2$ sont deux constantes réelles quelconques.
Je pense que c'est ok. Vous êtes d'accord?

2. Trouver une solution particulière pour $T"" - 4 T = \delta'$. On cherche une solution particulière de la forme $T_p= gH$ où $H$ est la fonction de Heaviside. En l'injéctant dans l'équation, on obtient
$$
g'' H +2 g' H' + g H'' - 4 g H =\delta'.
$$
Mais je ne sais pas comment enchainer pour obtenir la fonction $g$.
Merci par avance pour votre aide.

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#2 04-02-2018 22:10:27

aviateur
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Re : edo dans D'

Bonjour
Une solution particulière pour [tex]T''-4T=\delta_0[/tex]  c'est  y(x)=0  si <0  et y(x)=sinh(2*x)/2 si positif.
Il suffit que la dérivée en x=0  présente un saut égal à 1.

Dernière modification par aviateur (04-02-2018 22:12:15)

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#3 05-02-2018 09:52:59

uni
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Re : edo dans D'

mais on nous demande utiliser l'indication est trouver la fonction $g$. Est-il possible d'obtenir la fonction $g$ en suivant  ce que j'ai fait?

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#4 05-02-2018 13:09:08

aviateur
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Re : edo dans D'

y=gH  c'est une fonction y qui vaut    0 si x<0  et y(x)=g(x)  si x >0.
Le fonction que je donne suit l'indication.
Maintenant si tu veux suivre ce que tu as écrit de façon explicite, dans ton équation tu remplaces H,H' et H'' par leur valeur et tu te retrouves avec des conditions simples qui permettront de trouver  g 

Attention, il faut corriger un peu ma réponse car j'ai cru que le second membre c'est [tex]\delta_0[/tex]  alors qu'il semble que c'est la dérivée.
Donc il suffit de dériver la fonction que j'ai donnée pour la réponse finale?

Dernière modification par aviateur (05-02-2018 13:10:15)

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#5 06-02-2018 11:05:54

uni
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Re : edo dans D'

Bonjour aviateur, oui je souhaite suivre l'indication et donc trouver $g$ par le calcul explicite obtenue.
Donc on reprend à partir de
$$
g'' H +2 g' H' + g H'' - 4 g H = \delta.$$
On calcule $H, H', H''$
on a pour tout $\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}): \langle H, \varphi \rangle = \displaystyle\int_0^{+\infty} \varphi(x)= dx, \langle H',\varphi \rangle = \varphi(0)$ et $\langle H'',\varphi \rangle = - \varphi'(0)$.
Comment introduire ces calculs dans la formules? On met des crochets de dualités?

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#6 06-02-2018 12:03:04

aviateur
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Re : edo dans D'

Bonjour
Ici tu mets dans le second membre [tex]\delta[/tex] alors qu'au départ tu avais mis  [tex]\delta'[/tex]. C'est quoi finalement le second membre? Ensuite on est d'accord que [tex]\delta=\delta_0,[/tex]  i.e la mesure de Dirac en x=0?
Sinon tu poses T=gH avec  g  de classe [tex]C^{\infty}[/tex]
Supposons que le second membre est [tex]\delta[/tex]:
Si [tex]T''-4T=\delta[/tex], alors pour toute  fonction test [tex]\phi.[/tex]
On a [tex]<T''-4T,\phi>=\phi(0). Mais  <T''-4T,\phi>=<T'',\phi>-4<T,\phi>=[/tex]
[tex]=<T,\phi''>-4<T,\phi>=\int_0^{+\infty} g(x) (\phi''(x)-4\phi(x)) dx[/tex]
avec 2 IPP on obtient alors
[tex]<T''-4T,\phi>=\int_0^{+\infty}(g''(x)-4 g(x)) \phi(x)dx -g(0) \phi'(0)+g'(0)\phi(0)=\phi(0).[/tex]

On voit qu'il faut [tex]g''(x)-4 g(x)=0, g(0)=0[/tex]  et [tex]g'(0)=1[/tex]. On trouve donc [tex]g(x)=sinh(2 x)/2[/tex]. Fonction  [tex]g[/tex] que j'avais donnée dans mon premier post sans me fatiguer et maintenant en me fatiguant!!

Dernière modification par aviateur (06-02-2018 12:05:55)

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#7 06-02-2018 12:36:24

uni
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Re : edo dans D'

Pardon j'ai fait une erreur de frappe, le second membre c'est $\delta'$^. Qu'est ce que ça change à la solution?

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#8 06-02-2018 13:08:17

aviateur
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Messages : 48

Re : edo dans D'

[tex]<\delta',\phi>=-\phi'(0).[/tex]
donc il faut g'(0)=0 et g(0)=1.

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