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#1 02-02-2018 17:07:52
- convergence
- Membre
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- Messages : 127
$\Phi(t)=0\Longleftrightarrow t=0$
Salut
J'ai une fonction $\Phi$ définit par $\Phi(t)=\int_0^{|t|}\phi(s)ds$ avec
$\phi:[0,+\infty)\rightarrow[0,+\infty)$
$(1)$ $\phi$ est continue a droite et croissante $\mathbb{R}^+$;
$(2)$ $\phi(t)=0~ \text{si et seulement si}~ t=0;$
$(3)$ $\phi(t) \overset{t\rightarrow +\infty}{\longrightarrow} +\infty$;
$(4)$ $\phi(t)>0, t>0.$
Si t=0 alors naturellement $\Phi(t)=0$ mais si je suppose que $\Phi(t)=0$ que dois je utiliser pour conclure que $t=0$
merci
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#2 02-02-2018 22:00:41
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 035
Re : $\Phi(t)=0\Longleftrightarrow t=0$
Bonjour,
Puisque $\phi\geq 0$, on sait que $\int_0^t \phi(t)dt=0$ entraîne que $\phi$ est presque partout nulle sur $[0,t]$. La continuité à droite
de $\phi$ entraîne que $\phi$ est identiquement nulle sur $]0,t[$. Ceci n'est possible que si $t=0$.
F.
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