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#1 02-02-2018 06:54:25

Carelle
Membre
Inscription : 02-02-2018
Messages : 3

parallélisme de 2 sous espaces affines

Bonjour à tous,
F1 et F2 2 sous espaces affines de l'espace affine E
1) On suppose F1 // F2
Montrer que F1 ∩ F2 = ∅ ou F1 est inclus dans F2
2) A et B 2 points distincts de E
Montrer qu'il existe une unique droite affine qui passe par A et B
Merci d'avance

Hors ligne

#2 02-02-2018 08:02:58

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 846

Re : parallélisme de 2 sous espaces affines

Bonjour,

1) Soit $\vec{F_1}$ et $\vec{F_2}$ les directions respectives de $F_1$ et de $F_2$. Si je comprends bien ta définition de sous-espaces affines parallèles (il y en a plusieurs possibles), on a $\vec{F_1}\subset \vec{F_2}$. Soit également $A\in F_1$ et $B\in F_2$, de sorte que $F_1=A+\vec{F_1}$ et $F_2=B+\vec{F_2}$.
On suppose que $F_1\cap F_2\neq\varnothing$ et on va/doit prouver que $F_1\subset F_2$. Pour cela, on choisit $M\in F_1\cap F_2$.
Alors $\overrightarrow{AM}\in\vec{F_1}\subset\vec{F_2}$ et $\overrightarrow{BM}\subset\vec{F_2}$. On en déduit que
$\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{MA}\in\vec{F_2}$. Ainsi, $A$ est élément de $F_2$. Cela devrait te suffire pour conclure que $F_1\subset F_2$.

2) L'existence d'une droite, c'est facile (elle passe par $A$ et a pour vecteur directeur...). Pour l'unicité de cette droite, tu peux utiliser la question précédente.

F.

En ligne

#3 02-02-2018 08:17:08

Carelle00
Invité

Re : parallélisme de 2 sous espaces affines

Fred a écrit :

Bonjour,

1) Soit $\vec{F_1}$ et $\vec{F_2}$ les directions respectives de $F_1$ et de $F_2$. Si je comprends bien ta définition de sous-espaces affines parallèles (il y en a plusieurs possibles), on a $\vec{F_1}\subset \vec{F_2}$. Soit également $A\in F_1$ et $B\in F_2$, de sorte que $F_1=A+\vec{F_1}$ et $F_2=B+\vec{F_2}$.
On suppose que $F_1\cap F_2\neq\varnothing$ et on va/doit prouver que $F_1\subset F_2$. Pour cela, on choisit $M\in F_1\cap F_2$.
Alors $\overrightarrow{AM}\in\vec{F_1}\subset\vec{F_2}$ et $\overrightarrow{BM}\subset\vec{F_2}$. On en déduit que
$\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{MA}\in\vec{F_2}$. Ainsi, $A$ est élément de $F_2$. Cela devrait te suffire pour conclure que $F_1\subset F_2$.

2) L'existence d'une droite, c'est facile (elle passe par $A$ et a pour vecteur directeur...). Pour l'unicité de cette droite, tu peux utiliser la question précédente.

F.

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