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Pretzel

Invité

Invariance par un groupe d'une forme quadratique

Bonjour à tous,

Quel sous groupe du groupe des matrices laisse invariante la forme quadratique suivante : [tex] Q(x) = 4x^2 - xy + 5y^2 [/tex] ?

Merci d'avance.

Fred

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Re : Invariance par un groupe d'une forme quadratique

Bonjour,

  Je vais te poser une question un peu différente : si ta forme quadratique était donnée par $Q(x,y)=x^2+y^2$, quelles seraient les matrices laissant invariantes cette forme quadratique????

F.

Pretzel

Invité

Re : Invariance par un groupe d'une forme quadratique

Bonjour Fred :
Le sous groupe des matrices laissant invariante la forme quadratique [tex] Q(x,y) = x^2 + y^2 [/tex] est le groupe orthogonal [tex] O(2) = \{ \ A \in \mathcal{M}_2 ( \mathbb{R} ) \ | \ ^T A.A= I_2 \ \} [/tex] , non ?
Donc, le sous groupe des matrice laissant invariante la forme quadratique [tex] Q(x,y) = 4 x^2 -xy + 5y^2 [/tex] est le groupe [tex] G = \{ \ A \in \mathcal{M}_2 ( \mathbb{R} ) \ | \ ^T A M_Q A= M_Q \ \} [/tex] , avec : [tex] M_Q = \begin{pmatrix} 4 & - \dfrac{1}{2} \\ - \dfrac{1}{2} & 5 \end{pmatrix} [/tex], non ?
Merci d'avance.

Fred

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Re : Invariance par un groupe d'une forme quadratique

Oui, ce sont bien ces matrices.

Pretzel

Invité

Re : Invariance par un groupe d'une forme quadratique

Merci Fred.
A quoi peut-il servir de connaitre le sous groupe d'invariance d'une équation ( exprimé par une forme quadratique par exemple ), ou une équation différentielle partielle ( celles qu'on rencontre en physique notamment ( équations de Yang Mills si vous en êtes au courant ) ), surtout lorsqu'on cherche à résoudre ces équations ? est ce que le sous groupe d'invariance nous aide et nous fournit des informations afin de résoudre ces équations ?
Merci d'avance.