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#1 31-01-2018 21:06:40
- bonux
- Membre
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- Messages : 19
sous espace vectoriel
Bonjour, j'ai un souci de compréhension avec la solution de cet exercice :
Soient a < b deux réels. Soit l’espace vectoriel E = A([a,b],R) des applications de [a,b] dans R muni des lois habituelles. Les sous-ensembles suivants sont-ils des sous-espaces vectoriels de E?
b) l’ensemble des applications f : [a,b] →R telles que 2f(a) = f(b),
solution :
A = {f : [a,b] →R/2f(a) = f(b)} est un sous espace vectoriel de R[a,b]car 2f0(a) = f0(b) = 0 donc f0 ∈A
∀(f,g) ∈A2 2(f + g)(a) = 2f(a) + 2g(a) = f(b) + g(b) = (f + g)(b)
∀f ∈A ∀λ ∈ K 2(λf)(a) = 2λf(a) = λf(b) = (λf)(b)
pourquoi lambda est-il pris dans K puisque A est un sous espace vectoriel de R[a,b]?
Dernière modification par bonux (31-01-2018 21:07:23)
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#2 31-01-2018 21:49:57
- Roro
- Membre expert
- Inscription : 07-10-2007
- Messages : 1 566
Re : sous espace vectoriel
Bonsoir,
La définition d'un espace vectoriel est nécessairement associée à un corps. En général, lorsqu'on débute sur le sujet, le corps considéré est celui des réels : $K=\mathbb R$. On parle alors de $\mathbb R$-espace vectoriel.
Pour vérifier qu'un sous-ensemble $A$ d'un $\mathbb R$-espace vectoriel $E$ est un sous-espace vectoriel il faut montrer que
1) $A$ est non vide
2) $A$ est stable par addition
3) $A$ est stable par multiplication par des éléments de $K$ (donc ici de $\mathbb R$).
Roro.
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#3 31-01-2018 21:56:45
- Yassine
- Membre
- Inscription : 09-04-2013
- Messages : 1 090
Re : sous espace vectoriel
Bonsoir,
$A$ est un sous-espace vectoriel de $E$ et non de $R[a,b]$ (je ne connais d'ailleurs pas ce qu'est cet objet qui n'a pas été défini).
L'énoncé est incomplet puisqu'il dit que $E$ est un espace vectoriel sans préciser le corps des scalaires. Le fait que ce soit $\mathbb{R}$ est néanmoins implicite parce qu'on utilisera la multiplication dans $\mathbb{R}$ pour définir la multiplication par un scalaire dans $E$ :
$\lambda f$ est la fonction définie pas $\forall x \in [a,b], (\lambda f)(x)=\lambda f(x)$
L'énoncé aurait donc dû dire $E$ est espace vectoriel réel ou $E$ est un $\mathbb{R}$-espace vectoriel
Donc, tu as raison, ça ne devrait pas être $K$ mais $\mathbb{R}$
[EDIT]
Grillé par Roro !
Dernière modification par Yassine (31-01-2018 21:57:16)
L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel
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#4 31-01-2018 22:39:05
- bonux
- Membre
- Inscription : 01-12-2017
- Messages : 19
Re : sous espace vectoriel
Merci bien. J'avais pensé à ça mais je n'étais pas sure.
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