Forum de mathématiques - Bibm@th.net

bonux

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surjection/bijection

Je ne comprend pas la réponse à cet exercice :
Soient a < b deux réels. Soit l’espace vectoriel E = A([a,b],R) des applications de [a,b] dans R muni des lois habituelles. Les sous-ensembles suivants sont-ils des sous-espaces vectoriels de E ?
a) l’ensemble des applications surjectives (resp. injectives) f : [a,b] →R,
solution :
Notons f0 l’application identiquement nulle de [a,b] dans R.
• S = {f : [a,b] → R/f surjective } n’est pas un sous espace vectoriel de R[a,b] car f0 n’est pas surjective de [a,b] sur R.
•I = {f : [a,b] →R/f injective } n’est pas un sous espace vectoriel deR [a,b] car f0 n'appartient pas à I.

Pourquoi f0 n'est pas surjective de [a,b] sur R?

Pourquoi f0 n'appartient pas à I?

Yassine

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Re : surjection/bijection

Bonjour
$f$ surjective si $f([a,b])=\mathbb{R}$ et injective si $\forall x,y \in [a,b], f(x)=f(y) \implies x=y$

Or, ici, $f_0([a,b])=\{0\}$ et $\forall x,y \in [a,b], f_0(x)=f_0(y)$

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L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel

bonux

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Re : surjection/bijection

Merci Yassine. ça fait du bien de comprendre et d'avancer.