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#1 30-01-2018 14:45:25

mayus
Invité

question sur la démonstration de la dérivée de sinus x

Bonjour!

Dans la rubrique:
Démonstrations capes - les fonctions, continuité et dérivabilité
Dérivées des fonctions usuelles

Dérivées des fonctions usuelles

Je ne comprends pas cet extrait:

"Cette inégalité se démontre géométriquement de la façon suivante : soit B un point du cercle unité situé dans le premier quadrant. Alors l'aire du triangle ABD est inférieure ou égale à l'aire du secteur angulaire BAC qui est elle-même inférieure ou égale à l'aire du triangle AEC. Si on note x une mesure de l'angle BADˆ, alors les aires respectives du triangle ABD, du secteur angulaire BAC et du triangle AEC sont sinx, x et tanx. On trouve exactement l'inégalité annoncée. "

image

Avec les points de la figure, il me semble que l'on a plutôt, pour 0 < x < pi/2
- aire du triangle ABC (et non pas ABD) = sin x /2
- aire du secteur angulaire BAC = x /2
- aire du triangle ACE = tan x /2
d'où 0 < sin x < x < tan x
d'où, en inversant: 1 / tan x < 1 / x < 1 / sin x
et en multipliant par sin x : cos x < sin x / x < 1
et l'on retrouve l'inégalité annoncée.

Pourrez-vous me confirmer ce point?
Merci beaucoup !

#2 30-01-2018 14:54:30

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 958

Re : question sur la démonstration de la dérivée de sinus x

Bonjour,

  Oui, tu as raison, l'aire de ABD vaut $\sin(x)\cos(x)/2$ et c'est bien l'aire de ABC qui vaut $\sin x/2$.

F.

Hors ligne

#3 30-01-2018 15:38:28

mayus
Invité

Re : question sur la démonstration de la dérivée de sinus x

Merci beaucoup!

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