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Ablaise

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démonstration: condition pour qu'une forme bilinéaire soit définie.

Bonjour,

Voila mon problème, je cherche une condition sur h pour que [tex](f,g)\mapsto \int_0^1\,f(t)g(t)h(t)\,dt, { } f,g,h\in C^0([0,1],\mathbb{R})[/tex] soit un produit scalaire.

Le seul point bloquant est le côté définie de cette application.
Intuitivement je pense que  l'application est une produit scalaire si [tex]\forall x\in ]0,1[, h(t)\ne0[/tex]

Problème je ne suis pas persuadé de ma démonstration et je n'arrive pas à l'écrire rigoureusement:
Supposons qu'il existe [tex] \alpha \in ]0,1[ / h(\alpha)=0[/tex]
dans ce cas il est possible d'avoir [tex]f(\alpha)\ne0[/tex] sur un intervalle du type [tex]]\alpha-\delta,\alpha+\delta[[/tex] et donc l'application n'est pas définie.
D'où (contraposée) l'application est définie si [tex]\forall x\in ]0,1[, h(t)\ne0[/tex].

Merci d'avance pour vos remarques.

Yassine

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Re : démonstration: condition pour qu'une forme bilinéaire soit définie.

Bonjour,
Quelques remarques sur ce que tu as écris :
1-

je cherche une condition sur h ...

: c'est trop vague. $h=1$ est une condition qui marche bien, mais je ne pense pas que c'est ce que tu cherches ! Il faut préciser un peu
2-

$\forall x\in ]0,1[, h(t)\ne 0$

: Attention, ton produit scalaire doit être défini positif ! Si tu prends $h = -1$, alors $(f,f)=-\int f^2 \le 0$ !
3-

Supposons qu'il existe $\alpha \in ]0,1[ / h(\alpha)=0$, dans ce cas il est possible d'avoir $f(\alpha)\ne0$

: je ne vois pas de lien entre ce que tu supposes et la conclusion. Il n'y a pas d'erreur formelle dans ce que tu as écris, mais une erreur de bon sens. La phrase "Si le conjecture de Riemann est vraie alors \sin(0)=0$ est logiquement vraie, mais heurte notre bon sens.
Après, le "donc l'application n'est pas définie." semble tomber du ciel !

Dans la mesure où ton produit scalaire est défini via une intégrale, et que celle-ci est insensible à la valeur de la fonction en un point, ta condition ne s'exprimera pas "ponctuellement". Par rapport à ton intuition : je pense que la fonction $h(x)=(x-\dfrac{1}{2})^2$ marche très bien, bien qu'elle s'annule en un point.

Je commencerais pas montrer que la fonction $h$ est positive : indication, si elle est strictement négative en un point, alors, elle sera négative sur un voisinage de ce point (continuité) et on pourra donc trouver une fonction $f$ nulle en dehors de ce voisinage et valant $1$ sur ce voisinage, donc ...

Tu peux ensuite montrer que la fonction $h$ ne peut pas s'annuler sur un intervalle ouvert (même technique que ci-dessus).

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L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel

Ablaise

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Re : démonstration: condition pour qu'une forme bilinéaire soit définie.

Merci de ta réponse.

Je précise un peu ma recherche:

Au départ on me demande de vérifier que [tex]\int_0^1f(t)g(t)(1-t^2)dt,[/tex] est un produit scalaire.
Cette application est clairement bilinéaire symétrique et positive.
Je veux donc démontrer qu'elle est définie.
Pour moi du fait que (1-t²) s'annule en 1 je dois justifier que f est forcément nul en 1.
Je suppose donc qu'il existe [tex]\alpha\ne0/f(0)=\alpha[/tex] et [tex]\int_0^1f(t)g(t)(1-t^2)dt=0,[/tex]
et je montre grâce à la continuité de f que dans ce cas [tex]\int_0^1f(t)g(t)(1-t^2)dt\ne0,[/tex]
Contradiction donc f constante égale à 0.

Je me suis donc demandé si [tex]h(t)\ne0[/tex] sur ]0,1[ était une condition nécessaire et suffisante pour avoir [tex]\int_0^1f(t)g(t)h(t)dt,[/tex] est un produit scalaire.

J'ai ma réponse sur ce point.

Donc si j'ai bien compris ce que tu m'as dit, je peux dire que [tex], (h\in C^0([0,1],\mathbb{R})[/tex]
([tex]h(t)>=0[/tex] sur ]0,1[ et h s'annule en un nombre fini de point) est une condition nécessaire et suffisante pour avoir [tex]\int_0^1f(t)g(t)h(t)dt,[/tex] est un produit scalaire.

Yassine

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Re : démonstration: condition pour qu'une forme bilinéaire soit définie.

Je n'ai bien pas compris tes développement avec $h(t)=1-t^2$ !
Pourquoi tu te coltines un $g$ alors que tu es entrain d'examiner $\displaystyle (f,f) = \int f^2(t) h(t)dt$ ? Et puis, les propriétés ponctuelles des fonctions (ici, $h(1)=0$) n'ont pas d'impact (directement) sur l'intégrale (ici, c'est la continuité qui est importante : une fonction non nulle en un point ne vas pas changer brutalement de signe).

Je ne sais pas si la condition que tu cites est nécessaire mais elle est certainement suffisante. Une fonction telle que $h(t)=t^2\sin^2(\dfrac{\Pi}{t})$ et $h(0)=0$ devrait marcher alors qu'elle a un nombre infini (mais dénombrable) de zéros.

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L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel

Fred

Administrateur

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Re : démonstration: condition pour qu'une forme bilinéaire soit définie.

Bonjour,

  Je pense que la (une?) condition nécessaire et suffisante recherchée est que $h$ est positive ou nulle et qu'elle n'est pas identiquement nulle sur un intervalle non réduit à un point (ou de façon équivalente, que l'ensemble des points où $h$ ne s'annule pas est dense dans $[0,1]$).
Le point clé est le théorème suivant : si $\int_0^1u(t)dt=0$ et$u\geq 0$, alors $u$ est identiquement nulle.

Ainsi, on a $\int_0^1 f^2(t)h(t)dt=0$ si et seulement si la fonction $f^2 h$ est identiquement nulle.

1. Si $h$ s'annule sur un intervalle $I$ non réduit à un point, tu prends une fonction $f$ continue qui est identiquement nulle ailleurs que sur cet intervalle, mais qui prend des valeurs non nulles sur $I$. Alors on aura $\int_0^1 f^2(t)h(t)dt=0$, et on n'a pas un produit scalaire.

2. Réciproquement, si l'ensemble des points où $h$ ne s'annule pas est dense, considère n'importe quel $a\in[0,1]$. Il existe une suite $(x_n)$ telle que $x_n\to a$ et $h(x_n)\neq 0$. Puisque pour chaque $n$, on a $f^2(x_n)h(x_n)=0$, on en déduit que $f(x_n)=0$. Par continuité de $f$, on a aussi $f(a)=0$. Ainsi, $f$ est identiquement nulle et on a un produit scalaire.

F.