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#1 29-01-2018 13:56:24

Arnaud66
Invité

Résolubilité d'une équation polynomiale

Bonjour à tous,

Dans le premier paragraphe du lien suivant : http://www.les-mathematiques.net/b/b/i/node3.php , il est dit que :

Définition : On dit qu'un polynôme [tex] f \in K[X] [/tex]  est résoluble par des radicaux si, et seulement si, les racines de [tex] f [/tex] dans un corps des racines peuvent être construites à partir des coefficients de [tex] f [/tex] en un nombre fini d'étapes faisant intervenir les quatre opérations élémentaires [tex] + [/tex],[tex] - [/tex],[tex] \times [/tex],[tex] \div [/tex] et l'extraction de racines [tex] n [/tex] - ième pour des entiers naturels appropriés [tex] n [/tex].

Il découle de cette définition, qu'un polynôme [tex] f\in K\left[ X\right] [/tex] est résoluble par des radicaux si, et seulement si, il existe des corps [tex] K_{0},K_{1},...,K_{m}[/tex] tels que [tex]K_{0}=K[/tex] , le polynôme [tex] f [/tex] est scindé dans [tex] K_{m}\left[ X\right] [/tex] et pour tout entier [tex] i [/tex] entre [tex] 1 [/tex] et [tex] m [/tex], le corps [tex] K_{i} [/tex] est obtenu à partir du corps [tex] K_{i-1}[/tex], par l'adjonction d'un élément [tex]\alpha_{i}\in K_{i}[/tex] qui vérifie [tex] \alpha_{i}^{p_{i}}\in K_{i-1} [/tex] pour un certain entiers positif [tex] p_{i}[/tex].

Pouvez vous svp m'expliquez en détail pourquoi : les racines de [tex] f [/tex] dans un corps des racines peuvent être construites à partir des coefficients de [tex] f [/tex] en un nombre fini d'étapes faisant intervenir les quatre opérations élémentaires [tex] + [/tex],[tex] - [/tex],[tex] \times [/tex],[tex] \div [/tex] et l'extraction de racines [tex] n [/tex] - ième pour des entiers naturels appropriés [tex] n [/tex] si et seulement si  il existe des corps [tex] K_{0},K_{1},...,K_{m}[/tex] tels que [tex]K_{0}=K[/tex] , le polynôme [tex] f [/tex] est scindé dans [tex] K_{m}\left[ X\right] [/tex] et pour tout entier [tex] i [/tex] entre [tex] 1 [/tex] et [tex] m [/tex], le corps [tex] K_{i} [/tex] est obtenu à partir du corps [tex] K_{i-1}[/tex], par l'adjonction d'un élément [tex]\alpha_{i}\in K_{i}[/tex] qui vérifie [tex] \alpha_{i}^{p_{i}}\in K_{i-1} [/tex] pour un certain entiers positif [tex] p_{i}[/tex]

Merci infiniment.

#2 29-01-2018 15:53:25

Yassine
Membre
Inscription : 09-04-2013
Messages : 1 090

Re : Résolubilité d'une équation polynomiale

Bonjour,
Est-ce qu'il y a un sens du "si et seulement si" qui te pose problème ou les deux ?


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#3 29-01-2018 16:14:42

Arnaud66
Invité

Re : Résolubilité d'une équation polynomiale

Les deux.

#4 29-01-2018 21:10:33

Yassine
Membre
Inscription : 09-04-2013
Messages : 1 090

Re : Résolubilité d'une équation polynomiale

Dans le sens "si" (condition suffisante)
$f$ scindé dans $K_m[X]$ : les racines de $f$ sont directement des éléments de $K_m$
On sait que $K_m=K_{m-1}[\alpha_{m}]$ avec $\alpha_m \in K_m$ et $\alpha_m^{p_{m}} \in K_{m-1}$
Donc les éléments de $K_m$ (et en particulier les racines de $f$) s'expriment comme des combinaisons (finies) d'éléments de $K_{m-1}$ et des puissances de $\alpha_m$, qui est lui même une racine $p_{m}$-ième d'une éléments de $K_{m-1}$. Donc les éléments de $K_{m}$ s'obtiennent à partir de ceux de $K_{m-1}$ par les opérations de corps et d'extraction de racines.
De manière similaire, les éléments de de $K_{m-1}$ s'obtiennent à partir de ceux de $K_{m-2}$ par les opérations de corps et d'extraction de racines.
Et ainsi de suite jusqu'à arriver à $K_0=K$. Donc, les éléments de $K_m$ s'obtiennent à partir de ceux de $K$ par les opérations de corps et d'extraction de racines.

Dans le sens "seulement si" (condition nécessaire), je dois réfléchir un peu plus, j'ai un doute.

Dernière modification par Yassine (30-01-2018 13:23:35)


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#5 30-01-2018 00:03:38

Arnaud66
Invité

Re : Résolubilité d'une équation polynomiale

Merci beaucoup Yassine. Tu peux m'aider pour l'autre implication qui reste ( Pour que je puisse comprendre ?
Merci infiniment.  :-)

#6 30-01-2018 07:49:49

Yassine
Membre
Inscription : 09-04-2013
Messages : 1 090

Re : Résolubilité d'une équation polynomiale

Bonjour,
Dans le sens "seulement si" (condition nécessaire) :
$f$ a ses zéros dans un corps de racines $\Omega$ et ces zéros s'expriment via des opérations de corps et d'extraction de racines à partir d'éléments de $K$.
On considère $E_1$ l'ensemble des racines $n$-ième d'éléments de $K$ qui interviennent dans ces opérations. Si $E_1$ est vide, on a fini et on pose $m=0$, donc $K_m=K$ et $f$ est scindé sur $K[X]$.
Sinon, $E_1=\{\sqrt[p_i]{\beta_i},\ \beta_i \in K \textrm{ et } \ i=1\cdots m_1\}$.
On pose alors $\alpha_i=\sqrt[p_i]{\beta_i}$ et on construit successivement les extensions $K_{i}=K_{i-1}[\alpha_i]$, jusqu'à aboutir à $K_{m_1}$ (en particulier $E_1 \subset K_{m_1}$ et on a bien $\alpha_i^{p_i} = \beta_i \in K_{i-1}$).
Ensuite, on recommence en considérant $E_2$ l'ensemble des racines $n$-ième d'éléments de $K_{m_1}$ qui interviennent dans les opérations de construction des zéros de $f$. Si cet ensemble est vide, on a fini et on pose $m=m_1$, sinon on recommence la même opération avec comme point de départ $K_{m_1}$.
Ce processus finira par s'arrêter au bout de $k$ étapes (les étapes nécessaires à la construction des zéros de $f$ sont finies). On posera alors $m=m_k$ et les zéros de $f$ seront alors des éléments de $K_m$ (il n'y a plus d'extraction de racine impliquée) et $f$ est donc scindé sur $K_m[X]$.

Dernière modification par Yassine (30-01-2018 11:21:07)


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#7 12-02-2018 14:57:35

Arnaud66
Invité

Re : Résolubilité d'une équation polynomiale

Merci beaucoup Yassine. C'est gentil.  :-)
svp, j'ai une autre question mais une question en toute évidence un peu facile si on connait bien son cours de théorie de Galois et théorie des représentations :
Pourquoi l'action du groupe de Galois d'un polynôme [tex] f [/tex] qu'on note par [tex] \mathrm{Gal} (f) [/tex] sur le corps de ses racines [tex] \mathbb{Q} ( \alpha_1 , \dots , \alpha_n ) [/tex] peut être vue comme une représentation d'un groupe symétrique ?

Merci infiniment pour votre aide.

#8 12-02-2018 15:56:18

Yassine
Membre
Inscription : 09-04-2013
Messages : 1 090

Re : Résolubilité d'une équation polynomiale

Je ne suis pas un grand expert de la théorie de Galois, mais je peux essayer...

En premier, est-ce que tu vois/sais qu'un élément de $Gal(f)$, différent de l'identité, va échanger les racines de $f$ ?


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#9 12-02-2018 18:08:35

Arnaud66
Invité

Re : Résolubilité d'une équation polynomiale

Pardon Yassine. Je sais que l'action du groupe de Galois [tex]\mathrm{Gal} ( f )[/tex] sur [tex]\mathbb{Q} ( \alpha_1 , \dots , \alpha_n )[/tex] qui est : [tex] \mathrm{Gal} (f) \times \mathbb{Q} ( \alpha_1 , \dots , \alpha_n) \to \mathbb{Q} ( \alpha_1 , \dots , \alpha_n )[/tex] s’identifie à la représentation : [tex]\rho \ : \ S_n \to \mathrm{GL}_n ( \mathbb{Q} ( \alpha_1 , \dots , \alpha_n ) )[/tex] , néanmoins, pour appeler [tex]\rho[/tex] une représentation, il faut que [tex] \mathbb{Q} ( \alpha_1 , \dots , \alpha_n )[/tex] soit un [tex]\mathbb{Q}[/tex] - espace vectoriel, et il l'est, car [tex]\mathbb{Q} ( \alpha_1 , \dots , \alpha_n )[/tex] est une [tex]\mathbb{Q}[/tex]  - algèbre fini par définition. Mais, j'ai du mal à comprendre pourquoi les éléments de [tex] \mathrm{GL}_n ( \mathbb{Q} ( \alpha_1 , \dots , \alpha_n ) )[/tex] sont des matrices. La base canonique de [tex]\mathbb{Q} ( \alpha_1 , \dots , \alpha_n )[/tex]  en tant que [tex]\mathbb{Q}[/tex] - espace vectoriel est la base [tex] \mathcal{B} = \{ \ {\alpha_{1}}^{k_{1}} , \dots \alpha_{n}^{k_{n}} \ \}[/tex]  avec : [tex]0 \leq | k | = \sum_j k_j \leq n[/tex] , non ? Si, on prend [tex]\sigma \in S_n[/tex]  : le groupe symétrique d'ordre [tex]n![/tex]  pourquoi alors, [tex] \rho ( \sigma )[/tex] est une matrice de permutation si on tient compte de la base : [tex]\mathcal{B} = \{ \ {\alpha_{1}}^{k_{1}} , \dots \alpha_{n}^{k_{n}} \ \}_{ (k_1 , \dots , k_n ) \in \mathbb{N} \\ 0 \leq |k| \leq n }[/tex]  ... D'accord, j'ai compris, parce que : [tex]\rho ( \sigma ) ( \alpha_i ) = \alpha_j[/tex]  avec : [tex] \alpha_i \neq \alpha_j[/tex] .

#10 12-02-2018 20:04:49

Yassine
Membre
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Messages : 1 090

Re : Résolubilité d'une équation polynomiale

Bonsoir,
Je ne suis pas sûr d'avoir tout compris.
Pour alléger, je note $V=\mathbb{Q}(\alpha_1,...\alpha_n)$.

D'abord, la base de $V$ en tant que $\mathbb{Q}$-espace vectoriel dépend des $\alpha_i$ (cas extrême, s'ils sont rationnels, la dimension est $1$).

Ensuite, je ne vois pas trop pourquoi tu parles de matrices. Les éléments de $GL(V)$ sont des automorphisme de $V$ et la représentation d'un groupe $\rho: G \to GL(V)$ qui n'a pas de raison d'être isomorphe à $GL_n(\mathbb{Q})$ (comme je l'ai dit, la dimension de $V$ n'est pas $n$).

Donc, $Gal(f)$ va agir sur $V$ en échangeant les racines, ce qui peut se voir en effet comme une représentation du groupe symétrique $\mathfrak{S}_n$ : un automorphisme de $V$ est entièrement déterminé si on connait l'image de chaque $\alpha_i$, donc un élément $\sigma \in \mathfrak{S}_n$ va agir sur $V$ en envoyant chaque $\alpha_i$ sur $\alpha_{\sigma(i)}$


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#11 14-02-2018 17:19:58

Arnaud66
Invité

Re : Résolubilité d'une équation polynomiale

Pardon, Yassine, j'ai noté [tex]\mathrm{GL}_n ( \mathbb{Q}( \alpha_1 , \dots , \alpha_n ) )[/tex] et non [tex]\mathrm{GL}_n ( \mathbb{Q} )[/tex]. Regarde bien ?  :-)

#12 15-02-2018 08:04:48

Yassine
Membre
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Messages : 1 090

Re : Résolubilité d'une équation polynomiale

C'est pire alors !
Reprenons :
$GL_n(\mathbb{K})=GL(n,\mathbb{K})$ est le groupe des matrices carrées inversibles $n \times n$ à coefficients dans un corps $\mathbb{K}$.
$GL(V)$ représente le groupe des automorphismes (donc $\mathbb{K}$ linéaires) d'un $\mathbb{K}$-espace vectoriel $V$.
Si $V$ est de dimension finie égale à $n$, alors ces deux groupes sont isomorphes, mais de manière non canoniques (il faut se fixer une base de $V$).

Par contre, comme en général $V$ n'a pas de structure de corps, la notation $GL_n(V)$ ou  $GL(n,V)$ n'a pas de sens.

$\mathbb{Q(\alpha_1,...\alpha_n)}$ est un corps qui peut être vu comme un $\mathbb{Q}$-espace vectoriel de dimension non nécessairement égale à $n$ (La dimension de $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ est $2$ alors que celle de $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ est $3$ par exemple).

La représentation dont parle ton cours est formellement définie comme suit :

$\rho: \mathfrak{S_n} \to GL(\mathbb{Q(\alpha_1,...\alpha_n)})$ où $\rho(\sigma)$ est l'unique automorphisme de $\mathbb{Q}(\alpha_1,...\alpha_n)$ vérifiant $\rho(\sigma)(\alpha_i)=\alpha_{\sigma(i)}$.


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#13 17-02-2018 16:59:51

Arnaud66
Invité

Re : Résolubilité d'une équation polynomiale

Pardon Yassine :

Yassine a écrit :

$GL(V)$ représente le groupe des automorphismes (donc $\mathbb{K}$ linéaires) d'un $\mathbb{K}$-espace vectoriel $V$.
Si $V$ est de dimension finie égale à $n$, alors ces deux groupes sont isomorphes, mais de manière non canoniques (il faut se fixer une base de $V$).

Pourquoi l'isomorphisme devient canonique lorsqu'on fixe une base ?
Merci d'avance.

#14 17-02-2018 17:53:08

Yassine
Membre
Inscription : 09-04-2013
Messages : 1 090

Re : Résolubilité d'une équation polynomiale

Bonsoir,
Ma parenthèse expliquait qu'il n'est pas canonique parce qu'on est obligé de fixer une base. Chaque choix de base donne un isomorphisme différent, donc absolument pas canonique.


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