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#1 27-01-2018 08:39:05

Charline
Invité

Dm de maths 1*S fonctions

Bpnjour,j'ai un exercice de maths sur les fonctions et je suis bloquée. Pourriez vous m'aider ? 

Enoncé= On considère la fonction f définie sur R par f(x) = x²/(x²+1 )

1.Etablir que por tout réel x,f(x) = 1- ((1/(x²+1). En déduire le sens de variation de f sur R. 
2. 3 affirmations , pour chacunes d'entre elles, dire si elle est vraie ou fausse et justifier 
     a) Pour tout réel x, on a 0 <= f(x) <1 
     b)f admet 0 comme minimum sur R 
     c) 1 est le maximum de f sur R 

J'ai déjà réussi la question 1 mais la 2 je n' y arrive je pense que a= faux b= vraie et c = vraie mais je ne sais pas comment le démontrer

#2 27-01-2018 12:00:23

tibo
Membre actif
Inscription : 23-01-2008
Messages : 1 009

Re : Dm de maths 1*S fonctions

Salut,

Pas d'accord avec tes réponses.
On peut déduire du tableau de variations fait en 1) toutes les réponses de la 2), mais on va essayer d'être plus rigoureux et détailler un peu les calculs.


Commençons par la a) et découpons le problème :
Tu dois vérifier si pour tout réel $x$, $\left\{\begin{array}{ll} f(x)\ge 0 & (i) \\ f(x)<1 & (ii) \end{array}\right.$

Pour montrer $(i)$, tu peux partir de $x^2\ge 0$, et reconstruire ta fonction.
$x^2\ge 0\ \Leftrightarrow\ x^2+1\ge 1\ \Leftrightarrow\ \dfrac{1}{x^2+1}.....$

Pour $(ii)$, on peut utiliser le même raisonnement, mais en partant de $x^2+1>0$.
$x^2+1>0\ \Leftrightarrow\ \dfrac{1}{x^2+1}.....$


Pour b) et c), il faut revenir aux définitions d'un minimum et d'un maximum.

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$.

* Un réel $m$ est un minimum de $f$ sur $I$ si et seulement si
$\left\{\begin{array}{} \text{pour tout } x\in I, f(x)\le m \\ \text{il existe un } x_0\in I \text{ tel que } f(x_0)=m \end{array}\right.$

* Un réel $M$ est un maximum de $f$ sur $I$ si et seulement si
$\left\{\begin{array}{} \text{pour tout } x\in I, f(x)\ge M \\ \text{il existe un } x_0\in I \text{ tel que } f(x_0)=M \end{array}\right.$

Dit en français, ça signifie qu'il faut deux conditions pour avoir un minimum :
- Toutes les images de $f$ doivent être plus grandes que le minimum ;
- Ce minimum doit être atteint. Ce doit être l'une des images de la fonction.
Idem pour un maximum.

La question a) permet de vérifier facilement si la première condition est vraie.
Il reste la deuxième condition à vérifier.

Dernière modification par tibo (27-01-2018 12:20:21)


A quoi sert une hyperbole?
----- A boire de l'hypersoupe pardi !

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