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Marco11

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Calcul tensoriel

Bonjour tout le monde.                                                     L'énoncé de l'exercice suivant me pose problème :       "Pour $E$ un espace vectoriel de dimension $n$ sur $\mathbb{R}$ dont une base est ($e_1,e_2,....,e_n$), montrer que $E \otimes _R \mathbb{C}$ est en même temps un $\mathbb{R} $ et un $ \mathbb{C}$ espace vectoriel. Justifier que la famille ($e_1 \otimes 1,...,e_n \otimes 1$) en est une base comme  un $  \mathbb{C}$-espace.".                                         
S'il vous plaît, celà ne signifierait-il pas que la dimension de $E$ sur $\mathbb{C} $ est égale à celle de$ E$ sur $ \mathbb{R}$?? Est-ce possible ?

Fred

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Re : Calcul tensoriel

Bonjour,

  Que signifie l'indice $R$ en dessous de ton produit tensoriel???
Sinon, moi aussi je ne comprends pas pourquoi cela pourrait être une base comme $\mathbb C$ espace vectoriel...

F.

Yassine

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Re : Calcul tensoriel

Bonjour,
@Fred : il me semble que la notation $E \otimes _R \mathbb{C}$ recouvre le complexifié de $E$, que certains notent $E_{\mathbb{C}}$.
On a alors $\dim_{\mathbb{C}} E_{\mathbb{C}} = \dim_{\mathbb{R}} E$, ce qui explique la question posée (qui est mal posée je pense).

Dernière modification par Yassine (05-01-2018 15:31:38)

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Marco11

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Re : Calcul tensoriel

Merci de votre disponibilité,Fred,Yassine.              C'est justement l'égalité $dim_\mathbb{R}(E) =dim_\mathbb{C}(E)$ qui me semble fausse. Si c'était vrai,comment écririons nous dans une telle base le résultat de la composition d'un vecteur et d'un imaginaire pur par exemple??

Multimusicos

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Re : Calcul tensoriel

On a le résultat suivant: Si [tex]E[/tex] est un [tex]\mathbb{C}[/tex]-espace vectoriel,
[tex]\dim_\mathbb{R}E=2\dim_\mathbb{C}E[/tex]

En effet, si on considère [tex](e_1,...,e_n)[/tex] une base du [tex]\mathbb{C}[/tex]-espace vectoriel [tex]E[/tex], alors
[tex](e_1,...,e_n,i\times e_1,...,i\times e_n)[/tex] est une base du [tex]\mathbb{R}[/tex]-espace vectoriel [tex]E[/tex].

Ce résultat est un cas particulier d'un théorème plus général: Si on prend [tex]K\subset L[/tex] des corps commutatifs avec tout de dimension finie comme il faut... on a:
[tex]\dim_KE=\dim_KL\times\dim_LE[/tex]

Mais là gaffe à la confusion parce qu'il est dit que [tex]E[/tex] est un [tex]\mathbb{R}[/tex]-espace vectoriel...
Ça doit être une histoire de confusion entre [tex]E[/tex] et son complexifié, comme le dit si bien Yassine.

Yassine

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Re : Calcul tensoriel

Merci de votre disponibilité,Fred,Yassine.              C'est justement l'égalité $dim_\mathbb{R}(E) =dim_\mathbb{C}(E)$ qui me semble fausse. Si c'était vrai,comment écririons nous dans une telle base le résultat de la composition d'un vecteur et d'un imaginaire pur par exemple??

Bonjour
J’ai écrit : l'égalité $dim_\mathbb{R}(E) =dim_\mathbb{C}(E_C)$ (ce n’est pas le même ev des deux côtés )

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Marco11

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Re : Calcul tensoriel

OK,merci... J'ai finalement compris.