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#1 05-01-2018 16:15:04
- Yassine
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OIM 2017 - Suite, Exo 2
La suite du premier post :
Soit $\mathbb{R}$ l'ensemble des nombres réels. Déterminer toutes les fonction $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ telles que, pour tous réels $x$ et $y$ :
$\displaystyle f\left(f(x)f(y)\right)+f(x+y)=f(xy)$
L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel
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#3 07-01-2018 15:50:05
- Christson Aw
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Re : OIM 2017 - Suite, Exo 2
On constate que la fonction f(x) = 0 vérifie
alors cherchons les autres fonctions qui vérifent
posons y= 0 et f(0) = a alors on a f[af(x)] + f(x) = a (*)
posons X= af(x) on a alors f(x) = X/a
alors l'aquation (*) devient f(X) + X/a = a
f(x) = -X/a +a
d'ou on a f(x)= -x/a +a
cherchons les valeurs
a partir de l'équation f[f(x)f(y)] + f(x+y) = f(xy) on trouve que a²-1 = 0 d'où a prend les valeurs -1 et 1
d'ou on a les fonctions f(x) = 0 , f(x) = -x+1 et f(x)= x+1 sont solutions
ce qui est facile à vérifier
merci
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#4 07-01-2018 17:25:36
- Yassine
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Re : OIM 2017 - Suite, Exo 2
Bonsoir Christson Aw,
Je je prends le cas $f(x)=x+1$ et que je vérifie, je trouve :
$f\left(f(x)f(y)\right)=f(x)f(y)+1=(x+1)(y+1)+1=xy +(x+y) +2$
$f(x+y)=x+y+1$
d'où $f\left(f(x)f(y)\right)+f(x+y)=xy + 2(x+y)+3$
de l'autre côté $f(xy)=xy + 1$
ce qui ne respecte pas la contrainte sur $f$.
Ton erreur vient du passage
$f(X)=-\dfrac{X}{a} + a \implies f(x)=-\dfrac{x}{a} + a$.
Outre le fait qu'il faut traiter le cas $a=0$, $f$ ne respecte la première égalité que pour les nombres qui sont de la forme $af(x)$, pas pour tous les réels.
Dernière modification par Yassine (08-01-2018 14:08:07)
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#7 08-01-2018 14:43:07
- Yassine
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Re : OIM 2017 - Suite, Exo 2
Bonjour,
Comme je l'ai dit, le diable se cache dans les détails, donc, si quelqu'un peut vérifier ma démonstration ...
Dernière modification par Yassine (08-01-2018 14:46:09)
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#10 09-01-2018 21:24:11
- tibo
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Re : OIM 2017 - Suite, Exo 2
Re,
[edit] @Yassine : Vu que tu avais l'air d'accord avec ma conjecture, mais que j'y ai trouvé un contre exemple, j'ai regardé ta démonstration et effectivement il y a une erreur.
Tu as oublié un $fof$ à la fin.
Dernière modification par tibo (09-01-2018 21:28:26)
A quoi sert une hyperbole?
----- A boire de l'hypersoupe pardi !
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#11 10-01-2018 00:03:59
- Roro
- Membre
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Re : OIM 2017 - Suite, Exo 2
Bonsoir,
Si on cherche des solutions dérivables, en dérivant l'équation par rapport à $x$ (par exemple), et en évaluant en $y=0$ on doit en déduire que soit $f=0$, soit $af'(af(x))+1=0$, où $a=f(0)$.
Ensuite, en évaluant l'équation dérivée en $x=0$ je crois qu'on en déduit une équation différentielle linéaire dont on peut trouver les solutions.
Il faut ensuite vérifier lesquels satisfont l'équation initiale (on trouve f=0 ou f=1-x).
A vérifier...
Roro.
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#12 10-01-2018 10:00:04
- Yassine
- Membre
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- Messages : 1 090
Re : OIM 2017 - Suite, Exo 2
Bonjour,
Mazette, il faut remettre le travail sur le métier !
@Roro : Je n'ai pas vu de moyen simple pour montrer que la fonction était continue (sans parler de dérivable). Donc, avec ta solution, on ne trouve pas toutes les fonctions, mais uniquement celles qui sont dérivables.
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#15 11-01-2018 10:47:40
- Yassine
- Membre
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Re : OIM 2017 - Suite, Exo 2
Bonjour,
Dernière modification par Yassine (11-01-2018 16:51:51)
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#22 13-01-2018 09:45:37
- Yassine
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Re : OIM 2017 - Suite, Exo 2
Re,
Je sais que la fonction $f(x)=1-x$ vérifie la contrainte. La question est de connaitre toutes les fonctions, et donc de trouver des conditions nécessaires.
La seule propriété $\forall x, f(f(x))=1-f(x)$ ne permet pas de conclure que $\forall x, f(x)=1-x$
Par exemple, une fonction définie par $\forall n \in \mathbb{Z}, f(n)=1-n$ et $\forall x \in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Z}, f(x)=[x]^2+25$ vérifie bien $\forall x, f(f(x))=1-f(x)$
[EDIT]
Correction pour freddy : remplacer $\mathbb{N}$ par $\mathbb{Z}$
Dernière modification par Yassine (14-01-2018 09:54:54)
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#23 13-01-2018 21:48:35
- freddy
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Re : OIM 2017 - Suite, Exo 2
Re,
Oui, je comprends bien.
Il y a un souci pour n=2, non ?
f(2)=-1 et f(-1)= 26 et non 2 ...
@Yassine : m'en doutais un peu :-)
Dernière modification par freddy (16-01-2018 10:33:11)
Memento Mori ! ...
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