Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Giovanni_Agb

Membre

Inscription : 10-01-2018

Messages : 2

Série de fourrier d'une somme de deux translatés

Bonjour!!

Je suis Giovanni un nouveau membre étudiant en 2e année en science de l'ingénieur. J'ai un problème par rapport à l'exercice 8 de ce même site sur les séries de fourrier, au niveau de la déduction faite dans le corrigé.
Voici l'exercice:
Soit f la fonction impaire et 2π-périodique définie par f(x)=(π−x)/2,si x∈]0,π[; et soit g définie sur R par g(x)=f(x+1)−f(x−1).
1- Déterminer les séries de Fourier de f et de g.
2- En déduire que ∑n≥1(sin(n)/n)=∑n≥1(sin^2(n)/n^2).

Et voici précisément le passage qui me gène dans le corrigé:
si x∈]0,1], alors f(x−1)=f(x−1+2π)=(π−x+1−2π)/2
et on obtient donc
g(x)=−1+π.
si x∈]1,π−1], alors
g(x)=(π−x−1)/2=−1.
si x∈]π−1,π] alors f(x+1)=f(x+1−2π)=−f(2π−x−1)=
π−x−1
2

et on obtient
g(x)=−1.

Ma question est celle ci:
si x∈]0,1], à t-on le droit de calculer f(x−1+2π) avec l'expression de f dans ]0,1] ?

Merci bien

Dernière modification par Giovanni_Agb (10-01-2018 14:11:51)

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 048

Re : Série de fourrier d'une somme de deux translatés

Bonjour,

  Tu as raison, il y a une erreur à cet endroit (qui miraculeusement semble se corriger....)
Je crois qu'il faut dire que, si $y\in ]-\pi,0[$, alors $f(y)=\frac{-\pi-y}2$. Si $x\in [0,1]$, alors $x+1\in [0,\pi]$
et $f(x+1)=\frac{\pi-x-1}2$. D'autre part, $x-1\in ]-\pi,0]$ et $f(x-1)=\frac{-\pi-(x-1)}{2}=\frac{-\pi-x+1}2$.
On a alors $g(x)=f(x+1)-f(x-1)=\frac{\pi-x-1+\pi+x-1}2=\pi-1$.

F.