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#1 04-11-2017 13:49:08

Dattier
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Doublement classique ?

Salut,


[tex]\textbf{doublement classique ?}\\
\text{Determiner les reels }a\text{ tel que cette serie converge : } \sum \limits_{i,j\geq 1}\dfrac{1}{i^2+j^a}
[/tex]



[tex]\textbf{doublement classique + ?}\\
\text{Determiner une CNS sur }(a,b)\in \mathbb{R}^2\text{ tel que cette serie converge : }
\sum \limits_{i,j\geq 1}\dfrac{1}{i^b+j^a}[/tex]

Cordialement.

Dernière modification par yoshi (05-01-2018 07:50:07)


Raisonnement Empirique : A est exacte si avec 10 exemples et pas de contre-exemples connus

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#2 17-12-2017 15:30:09

evaristos
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Re : Doublement classique ?

Bonjour

a et b?

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#3 27-12-2017 22:31:44

Dattier
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Re : Doublement classique ?

Salut,

evaristos a écrit :

a et b?

Je ne comprends pas ta question.
Cordialement.


Raisonnement Empirique : A est exacte si avec 10 exemples et pas de contre-exemples connus

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#4 05-01-2018 00:49:13

evaristos
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Re : Doublement classique ?

bonjour

Les lettres a et b n'apparaissent pas dans les énoncés!

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#5 05-01-2018 00:59:46

Dattier
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Re : Doublement classique ?

Salut,

Mets un zoom à 150% tu devrais les voir, mais c'est vrai qu'ils sont écrits tout petit.


Raisonnement Empirique : A est exacte si avec 10 exemples et pas de contre-exemples connus

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#6 05-01-2018 07:51:17

yoshi
Modo Ferox
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Re : Doublement classique ?

Bonjour,

En remplaçant \frac par \dfrac, c'est mieux, non ?
Et d'ailleurs, cela m'a permis d'apercevoir ceci :
Déterminer les reels $a$ tels que cette série converge : [tex]\sum \limits_{i,j\geq 1}\dfrac{1}{i^2+j^a}[/tex]
[tex]i^2[/tex] ou [tex]i^b[/tex] ?


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

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#7 05-01-2018 12:30:10

Yassine
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Inscription : 09-04-2013
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Re : Doublement classique ?

Bonjour,
Je n'ai jamais travaillé sur la convergence des suites (ou séries) à double indice.
Comment définit-on la convergence d'une suite $u_{n,m}$ ?
En particulier, est-ce que la définition est indépendante de la "manière" dont $(n,m)$ va tendre vers l'infini ?
Plus formellement, si on définit une telle limite, est-ce que pour toutes fonctions strictement croissantes $\varphi$ et $\psi$, la suite
$u_{\varphi(k), \psi(k)}$ tend vers la même limite au sens usuel (je pense que non) ?


L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel

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#8 05-01-2018 17:25:35

Multimusicos
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Inscription : 05-01-2018
Messages : 12

Re : Doublement classique ?

Comment définit-on la convergence d'une suite [tex]u_{n,m}[/tex] ?

Cette convergence est définie dans le cadre des familles sommables, c'est une histoire de borne supérieure: les "sommes partielles" doivent être bornées, et la somme est alors définie comme la borne supérieure des sommes partielles. Voir la page Wikipédia.

Je connais cet exercice, il faut trouver une condition sur [tex]a[/tex] pour que [tex](\frac{1}{n^{2a}+m^{2a}})_{n,m\geqslant1}[/tex] soit sommable. C'est mieux si on a une idée du critère ([tex]a\gtrless1[/tex] je crois). Il peut être utile d'étudier d'abord le cas a=1.

Ça se résout par comparaison avec des familles notablement sommables ou non sommables, en utilisant entre autres des inégalités de convexité du type [tex](nm)^{2a}\leqslant\frac{n^{2a}+m^{2a}}{2}[/tex] ce qui permet de se ramener à des produits de Cauchy de série Riemanniennes genre:
[tex]\sum\limits_{n,m}\frac{1}{(nm)^{2a}}=\sum\limits_n\frac{1}{n^{2a}}\sum\limits_m\frac{1}{m^{2a}}[/tex]

Étonnant, non ?

Dernière modification par yoshi (05-01-2018 18:06:44)

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#9 05-01-2018 18:03:49

Dattier
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Re : Doublement classique ?

Salut,

Yassine a écrit :

Bonjour,
Je n'ai jamais travaillé sur la convergence des suites (ou séries) à double indice...

Les termes de la série sont de même signe.

Cordialement.


Raisonnement Empirique : A est exacte si avec 10 exemples et pas de contre-exemples connus

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#10 06-01-2018 10:59:13

Yassine
Membre
Inscription : 09-04-2013
Messages : 1 090

Re : Doublement classique ?

Ah ok. J’avais vu ce concept de familles sommables mais j’ai oublié.
C’est en effet intéressant.


L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel

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