Doublement classique ?

Dattier · 04-11-2017 14:49:08

Salut,

[tex]\textbf{doublement classique ?}\\
\text{Determiner les reels }a\text{ tel que cette serie converge : } \sum \limits_{i,j\geq 1}\dfrac{1}{i^2+j^a}
[/tex]

[tex]\textbf{doublement classique + ?}\\
\text{Determiner une CNS sur }(a,b)\in \mathbb{R}^2\text{ tel que cette serie converge : }
\sum \limits_{i,j\geq 1}\dfrac{1}{i^b+j^a}[/tex]

Cordialement.

Dernière modification par yoshi (05-01-2018 08:50:07)

evaristos · 17-12-2017 16:30:09

Bonjour

a et b?

Dattier · 27-12-2017 23:31:44

Salut,

evaristos a écrit :

a et b?

Je ne comprends pas ta question.
Cordialement.

evaristos · 05-01-2018 01:49:13

bonjour

Les lettres a et b n'apparaissent pas dans les énoncés!

Dattier · 05-01-2018 01:59:46

Salut,

Mets un zoom à 150% tu devrais les voir, mais c'est vrai qu'ils sont écrits tout petit.

yoshi · 05-01-2018 08:51:17

Bonjour,

En remplaçant \frac par \dfrac, c'est mieux, non ?
Et d'ailleurs, cela m'a permis d'apercevoir ceci :
Déterminer les reels $a$ tels que cette série converge : [tex]\sum \limits_{i,j\geq 1}\dfrac{1}{i^2+j^a}[/tex]
[tex]i^2[/tex] ou [tex]i^b[/tex] ?

@°

Yassine · 05-01-2018 13:30:10

Bonjour,
Je n'ai jamais travaillé sur la convergence des suites (ou séries) à double indice.
Comment définit-on la convergence d'une suite $u_{n,m}$ ?
En particulier, est-ce que la définition est indépendante de la "manière" dont $(n,m)$ va tendre vers l'infini ?
Plus formellement, si on définit une telle limite, est-ce que pour toutes fonctions strictement croissantes $\varphi$ et $\psi$, la suite
$u_{\varphi(k), \psi(k)}$ tend vers la même limite au sens usuel (je pense que non) ?

Multimusicos · 05-01-2018 18:25:35

Comment définit-on la convergence d'une suite [tex]u_{n,m}[/tex] ?

Cette convergence est définie dans le cadre des familles sommables, c'est une histoire de borne supérieure: les "sommes partielles" doivent être bornées, et la somme est alors définie comme la borne supérieure des sommes partielles. Voir la page Wikipédia.

Je connais cet exercice, il faut trouver une condition sur [tex]a[/tex] pour que [tex](\frac{1}{n^{2a}+m^{2a}})_{n,m\geqslant1}[/tex] soit sommable. C'est mieux si on a une idée du critère ([tex]a\gtrless1[/tex] je crois). Il peut être utile d'étudier d'abord le cas a=1.

Ça se résout par comparaison avec des familles notablement sommables ou non sommables, en utilisant entre autres des inégalités de convexité du type [tex](nm)^{2a}\leqslant\frac{n^{2a}+m^{2a}}{2}[/tex] ce qui permet de se ramener à des produits de Cauchy de série Riemanniennes genre:
[tex]\sum\limits_{n,m}\frac{1}{(nm)^{2a}}=\sum\limits_n\frac{1}{n^{2a}}\sum\limits_m\frac{1}{m^{2a}}[/tex]

Étonnant, non ?

Dernière modification par yoshi (05-01-2018 19:06:44)

Dattier · 05-01-2018 19:03:49

Salut,

Yassine a écrit :

Bonjour,
Je n'ai jamais travaillé sur la convergence des suites (ou séries) à double indice...

Les termes de la série sont de même signe.

Cordialement.

Yassine · 06-01-2018 11:59:13

Ah ok. J’avais vu ce concept de familles sommables mais j’ai oublié.
C’est en effet intéressant.

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 04-11-2017 14:49:08

Doublement classique ?

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