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#1 01-01-2018 22:14:08

bastienTerm
Membre
Inscription : 01-01-2018
Messages : 4

puissance de 3, unités, congruences

bonjour,

je dois prouver à l'aide des congruences modulo 10 que le chiffre des unités de 3 puissance n est impair. Il y a différents sujets s'en rapprochant déjà existants mais je ne sais pas par où commencer.

pouvez vous m'éclairer svp ?

merci

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#2 02-01-2018 04:29:17

Vladimir
Membre
Inscription : 01-01-2018
Messages : 10

Re : puissance de 3, unités, congruences

Quand on a une propriété qui dépend d'un entier naturel, il faut toujours se demander s'il ne serait pas possible de la démontrer par récurrence.

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#3 02-01-2018 10:57:29

bastienTerm
Membre
Inscription : 01-01-2018
Messages : 4

Re : puissance de 3, unités, congruences

merci de ta réponse mais mon prof nous a bien spécifié de n'utiliser que les congruences. En fait l'exercice s'établit de cette façon :
1 - étudier les puissances de 3 et le chiffre des unités, faites une conjecture (3/9/7/1...)
2 - démontrer la conjecture à l'aide des congruences modulo 10
3 - quel est le chiffre des unités de 2017^2017 ?

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#4 02-01-2018 11:51:35

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 5 051

Re : puissance de 3, unités, congruences

Bonjour

  Ta conjecture si j'ai bien compris c'est que  $ 3^{4n} $ se termine toujours par un 1. Comment cela s'écrit en terme de congruence modulo 10. Que vaut  $ 3^4 $  modulo 10 ?

F

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#5 02-01-2018 12:04:27

bastienTerm
Membre
Inscription : 01-01-2018
Messages : 4

Re : puissance de 3, unités, congruences

pourquoi prend on 4n comme puissance ? c'est ca que je n'arrive pas à comprendre car d'après la question une je comprend de mon côté qu'il faut étudier tous les entiers naturels non ?

sinon 3^4 est congru à 1 modulo 10

merci à tous de prendre le temps d'étudier ma question et de répondre c'est sympa parce que la je suis perdu :/

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#6 02-01-2018 17:42:34

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 5 051

Re : puissance de 3, unités, congruences

On regarde 4n car on a un cycle de longueur 4 qui se répète. Si tu sais faire pour les entiers qui s'écrivent 4n tu sauras le faire pour ceux qui s'écrivent 4n+1...

Indication suivante  : comment calculer 3^4n si on connaît 3^4.

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#7 03-01-2018 15:28:37

bastienTerm
Membre
Inscription : 01-01-2018
Messages : 4

Re : puissance de 3, unités, congruences

en fait moi la conjecture que j'ai faite c'est que le chiffre des unités de 3 puissance n est toujours impair

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