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#1 17-12-2017 15:27:36

evaristos
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Un voilier en perdition

Bonjour

Un voilier casse son mât principal, au cours d’un grain. Il est en vue d'un navire qui n'aperçoit pas ses signaux de détresse car il garde son allure et son cap. 
Le skipper sait que la vitesse de son voilier avec son moteur de secours ne lui permettra pas d’'aborder le navire. Il décide de s'approcher le plus près possible en conservant ses dernières fusées.                                                                                                                                                                                       
Son ordinateur de bord fonctionne correctement ce qui lui permet de rentrer les données des deux bateaux au moment de l’observation; sa position P1, celle du navire P2, P1P2 = d, sa vitesse maximum V1 celle qui lui permettra de se rapprocher le plus vite possible, la vitesse constante du navire V2 et son cap (celui du navire) perpendiculaire à (P1P2).
Un programme de calcul exécuté par l'ordinateur lui indique alors son changement de cap de a° degré par rapport à (P1P2), permettant au voilier d'atteindre la position O1 quand le navire est en O2, la distance O1O2 étant alors minimum.
Il utilisera ensuite ses dernières fusées en espérant être aperçu du navire.

Quelle est la valeur de a et la distance minimum O1O2?

Dernière modification par evaristos (17-12-2017 23:45:58)

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#2 21-12-2017 00:15:35

evaristos
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Re : Un voilier en perdition

bonsoir

Si cela peut vous aider:
le calcul montre que P1, O1 et O2 sont alignés.
On peut le montrer d'abord par des considérations géométriques puis l'utiliser pour la suite.

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#3 21-12-2017 11:06:29

Yassine
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Re : Un voilier en perdition

Bonjour,

Mon approche

J'avais regardé cette énigme, sans pousser les calculs au bout.
La vitesse du voilier étant plus faible que celle du bateau, quelque soit la trajectoire du voilier, la distance entre les deux bateaux varie de la distance initiale à $+\infty$, elle admet donc un minimum. Il y a donc toujours au moins une solution.
Maintenant, pour une solution donnée, atteinte au bout du temps $\tau$, le bateau sera au point $O_2$, à une distance $P_2O_2=v_2\tau$ et tel $P_2P_2 \perp P_2O_2$. Par l'argument simple de : "la distance minimale entre deux points est la ligne droite" (nous sommes en géométrie euclidienne) on montre que pour tout point $O'_1$ qui ne serait sur la droite $P_1O_2$, la distance $O'_1O_2$ est plus grande que la distance $O_1O_2$ où $O_1$ est le point situé sur $P_1O_2$ et tel que $P_1O_1=v_1\tau$.
Si ensuite, on note $x=O_1O_2$ la distance à minimiser, l'application de Pythagore donne :
$(x+v_1\tau)^2 = d^2 + (v_2\tau)^2$, soit $x = \sqrt{d^2 + (v_2\tau)^2}-v_1\tau$
Ensuite on dérive par rapport à $\tau$ pour trouver le temps $\tau$ pour lequel cette distance est minimale :
$\dfrac{2v_2^2\tau}{\sqrt{d^2 + (v_2\tau)^2}}-v_1 = 0$.


L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel

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#4 22-12-2017 05:33:07

evaristos
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Re : Un voilier en perdition

Bonjour Yassine

Tout d'abord, je pense que ta démonstration de P1,01 et O2 alignés est plutôt une affirmation.
De plus ta lettre T est une constante (le temps mis pour atteindre le minimum).
Si tu utilises un temps t variable, en général, les points ne seront plus alignés
et tu ne pourras plus utiliser la relation de Pythagore.

une autre indication

on peut étudier x = X1X2 = f(a,t), avec X1 et X2 les positions des deux bateaux pour un cap a à l'instant t

Dernière modification par evaristos (22-12-2017 05:54:24)

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#5 28-12-2017 17:16:58

Yassine
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Re : Un voilier en perdition

Bonjour,
Du coup, comme il n'y a pas tant de participants que ça, je vais enlever le anti-spoiler de mon message précédent.

Yassine a écrit :

J'avais regardé cette énigme, sans pousser les calculs au bout.
La vitesse du voilier étant plus faible que celle du bateau, quelque soit la trajectoire du voilier, la distance entre les deux bateaux varie de la distance initiale à $+\infty$, elle admet donc un minimum. Il y a donc toujours au moins une solution.
Maintenant, pour une solution donnée, atteinte au bout du temps $\tau$, le bateau sera au point $O_2$, à une distance $P_2O_2=v_2\tau$ et tel $P_2P_2 \perp P_2O_2$. Par l'argument simple de : "la distance minimale entre deux points est la ligne droite" (nous sommes en géométrie euclidienne) on montre que pour tout point $O'_1$ qui ne serait sur la droite $P_1O_2$, la distance $O'_1O_2$ est plus grande que la distance $O_1O_2$ où $O_1$ est le point situé sur $P_1O_2$ et tel que $P_1O_1=v_1\tau$.
Si ensuite, on note $x=O_1O_2$ la distance à minimiser, l'application de Pythagore donne :
$(x+v_1\tau)^2 = d^2 + (v_2\tau)^2$, soit $x = \sqrt{d^2 + (v_2\tau)^2}-v_1\tau$
Ensuite on dérive par rapport à $\tau$ pour trouver le temps $\tau$ pour lequel cette distance est minimale :
$\dfrac{2v_2^2\tau}{\sqrt{d^2 + (v_2\tau)^2}}-v_1 = 0$.


Tout d'abord, je ne suis pas d'accord sur le fait que ce que j'ai écrit pour justifier l'alignement des points soit une pure affirmation. Je veux bien accepter le manque de formalisme. Mon argument procède en trois point :
1) il existe une distance minimale.
2) Pour toute solution qui réalise ce minimum (c'est probablement le point le plus difficile à montrer : il existe au moins une solution qui réalise ce minimum), la trajectoire qui est sur la ligne voilier/bateau fait au moins aussi bien que cette trajectoire (la ligne droite réalise la distance minimale).
3) La bateau a donc suivi une trajectoire rectiligne en direction du point de rencontre de son cap constant et de celui bateau.

Maintenant pour le dernier point, je ne vois pas ce que tu veux dire par $\tau$ est constant.
Imaginons le voilier en train de déterminer l'angle (constant)$\theta$ par rapport à $P_1P_2$ de son cap, il effectue bien une minimisation en faisant varier l'angle pour trouver la valeur optimal. Donc, si on connait la fonction $O_1O_2=f(\theta)$, on trouvera bien le minimum en dérivant et en annulant la dérivée (fonction convexe). On ne vas pas dire : ah non, l'angle qui réalise le minimum est constant, donc on n'a pas le droit de dériver, non ?

Dériver par rapport à $\theta$ ou par rapport à $\tau$ est équivalent dans cet exercice.


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#6 31-12-2017 00:33:57

evaristos
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Re : Un voilier en perdition

Bonsoir Yassine

SI P2O2 = V2*T alors T est une constante = P2O2/V2. Ta fonction x est donc constante et sa dérivée/T est nulle.
Si tu appelle théta (théta < 90°)le changement de Cap, t le temps de parcourt (t< T), S1 la position du voilier et S2 celle du bateau à l'instant t, le problème revient à minimiser la fonction f(théta,t) = S1S2.

Maintenant si P1, O1, O2 sont alignés, il s'agit alors de minimiser S1S2 = g(t) sachant que théta = a (inconnu), P1, S1, O1 et O2 alignés et S2 sur (P1O2).
On peut étudier deux cas: V1 < V2 et V1 = V2.

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#7 31-12-2017 10:22:56

Yassine
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Re : Un voilier en perdition

Bonjour evaristos,


Supposons que la première partie est OK et que la solution recherchée correspond bien une une trajectoire rectiligne, déterminée de manière unique par le changement de cap $\theta$.
Alors, il y a une correspondance univoque entre $\theta$ et le point $O_2$ ($O_2$ est l'intersection de la droite faisant un angle $\theta$ avec $P_1P_2$ et la droite perpendiculaire à $P_1P_2$ en $P_2$). De même, il y a correspondance univoque entre $O_2$ et le temps $\tau$ que met le bateau pour l'atteindre ($\tau = \dfrac{P_2O_2}{v_2}=\dfrac{P_1P_2\tan(\theta)}{v_2}$).

Pour un angle $\theta$ quelconque, et donc un $\tau$ quelconque, la distance $O_1O_2$ s'exprime comme je l'ai indiqué.

Le problème devient donc :
Soit la fonction $f: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}$ donnée par $f(\tau)= \sqrt{d^2 + (v_2\tau)^2}-v_1\tau$, trouver la valeur $\tau_m$ où $f$ atteint son minimum. ça n'a pas trop de sens de dire que comme $\tau_m$ est une constante, je n'ai pas le droit de dériver pour la trouver !


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#8 31-12-2017 15:42:19

evaristos
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Re : Un voilier en perdition

Bonjour Yassine

Je crois que l'on ne se comprend pas.
Pour moi O2 est fixe et le problème revient à calculer la valeur a de  θ
quand la distance des deux bateaux est minimum.
A ce moment là, P1 et les deux bateaux sont alignés.
Pour prouver l'alignement, il y a une démonstration géométrique ou bien
un calcul algébrique avec une fonction f à deux variables  θ  et t telle que:

min f( θ , t)= f(a,Tm) = O1O2

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#9 31-12-2017 19:45:07

Yassine
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Re : Un voilier en perdition

En effet, je vois bien qu'on ne se comprend pas.
Pour moi, la phrase "$O_2$ est fixe" prête à confusion.
$O_2$ n'est pas une constante (au sens une donnée du problème). C'est la solution (indirecte) d'un problème de minimisation.

Je vais d'abord commencer par formaliser ma "démonstration" du fait que les points $P_1$, $O_1$ et $O_2$ sont alignés.

Je note $t$ le temps et $O_2(t)$ la position du bateau à un instant $t$, déterminée par sa direction (perpendiculaire à $P_1P_2$) et telle que $P_2O_2(t)=v_2t$.
Soit $M(t)$ une trajectoire du voilier, solution du problème. Il existe donc $\tau$ tel que $M(\tau)O_2(\tau)$ soit minimale (Je note $X :=M(\tau)$ dans la suite). Soit $O_1$ le point sur la droite $P_1O_2(\tau)$ tel que $P_1O_1=P_1X$. Alors, par inégalité triangulaire (ce que j'ai appelé "la distance la plus courte est la ligne droite") $P_1O_2(\tau) \le P_1X + XO_2(\tau)$. Comme les points  $P_1$, $O_1$ et $O_2(\tau)$ sont aligné, on a $P_1O_2(\tau) = P_1O_1 + O_1O_2(\tau)$, en combinant les deux équations, on obtient $O_1O_2(\tau) \le XO_2(\tau)$, or, comme la distance $XO_2(\tau)$ est minimale, on a alors $O_1O_2(\tau) = XO_2(\tau)$. L'inégalité triangulaire est alors une égalité, ce qui n'est possible que si les points sont alignés. Donc $X$ est bien sur la droite $P_1O_2(\tau)$.

De plus, si le voilier va à une vitesse inférieure à sa vitesse maximale, un autre voilier qui aurait le même cap et à vitesse maximale serait plus proche du bateau. Donc, le voilier a dû naviguer à sa vitesse maximale.

Ce que j'ai montré, c'est que si une trajectoire réalise le minimum, alors le minimum est atteint en un point aligné avec $P_1$ et $O_2$, mais ma construction dépend de la trajectoire en question. Il faudrait donc montrer l'existence d'au moins une trajectoire qui réalise le minimum.

Il y a également un autre cas que je ne traite pas, celui de $v_1 > v_2$, dans ce cas, le voilier peut rattraper le bateau.

Est-ce qu'on est déjà d'accord avec cette première partie ?


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#10 31-12-2017 23:42:48

evaristos
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Re : Un voilier en perdition

Bonsoir Yassine

Excuse-moi, mais je ne comprends toujours pas.

Peux-tu me faire un dessin? Merci

(j'ai eu autrefois un élève en Algérie qui avait le même prénom; ça me rappelle de bons souvenirs de jeunesse)

Dernière modification par evaristos (31-12-2017 23:45:30)

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#11 01-01-2018 12:46:07

Yassine
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Re : Un voilier en perdition

Bonjour,
Je ne suis pas un très calé en génération/partage d'images.
J'espère que ça va marcher (ça marche en prévisualisation).

18010112423617035615432919.png

[EDIT]
Je suis encore un peu groggy !
Bonne année à tous et meilleurs voeux

Dernière modification par Yassine (01-01-2018 12:59:42)


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#12 01-01-2018 13:26:24

evaristos
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Re : Un voilier en perdition

bonjour Yassine et meilleurs voeux pour 2 018
Le voilier adopte un nouveau cap constant ( a dans l'énoncé) lui permettant d'atteindre la position 01
avec O1O2 minimum.

Le calcul montre que a et T(le temps mis pour atteindre O1 sont uniques.(V1 < V2)
Il faut les déterminer (surtout a pour diriger le voilier dans la bonne direction).

"et" à la place de "est" excuses

Dernière modification par evaristos (01-01-2018 19:55:10)

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#13 01-01-2018 17:02:22

Yassine
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Re : Un voilier en perdition

Bonjour,
Désolé mais je n'ai pas compris.

Je sais bien que le voilier adopte un cap constant, cap qui détermine automatiquement la durée pour atteindre le minimum.

Est-ce que la démonstration du fait que les points sont alignés te semble correcte ?


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#14 01-01-2018 19:47:45

evaristos
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Re : Un voilier en perdition

Ce n'est pas clair ; j'ai une démonstration par l'absurde

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#15 01-01-2018 20:40:40

Yassine
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Re : Un voilier en perdition

Bonsoir,
Qu'est ce qui n'est pas clair ?
Je suppose qu'il y a une trajectoire du voilier qui réalise le minimum, et je montre que le point où ce minimum est atteint est forcément aligné avec P1 et O2.
Je pense que je ne peux pas être plus précis.
Je veux bien un commentaire des autres membres du forum.


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#16 01-01-2018 21:09:04

yoshi
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Re : Un voilier en perdition

Bonsoir,

A priori (mais je relirai) quand j'avais lu ton énoncé, Evaristos, je n'étais pas allé plus loin, n'arrivant pas à visualiser immédiatement le problème.
J'ai toujours considéré que si j'étais obligé de lire plusieurs fois un énoncé de ce type pour pouvoir me faire une représentation mentale de la problématique, c'est que l'énoncé devrait être récrit...
Ce n'est que mon point de vue personnel, ça ne s'explique pas : il n'a évidemment pas force d'universalité...
Désolé...

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#17 02-01-2018 12:18:13

yoshi
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Re : Un voilier en perdition

Re,

Après relectures attentives, je suis arrivé à comprendre ceci...
A l'instant t=0 un Liner L en position au temps t=0 L0,  suit une trajectoire rectiligne (L0I).
A ce même instant t=0, un voilier V se trouve en détresse, et décide de se rapprocher au maximum du Liner en suivant une trajectoire (V0I).
Ce cap fait un angle \theta avec la demi-droite [V0L0).
J'ai représenté les positions réciproques à l'instant t Lt et Vt...
Le but du jeu est donc de s'assurer que la distance d(t) =LtVt passe par un minimum et de trouver le temps t correspondant...
C'est bien ça ?

Par commodité, j'ai décidé De faire coïncider la trajectoire du liner avec l'axe des abscisses et la droite (L0V0) avec celui des ordonnées, le Liner étant placé à l'instant t = 0 à l'origine des coordonnées...
J'appelle v1 et v2 les vitesses respectives du Liner et du Voilier.

746474VoilierLinertrajectoires.jpg

Moi, je calculerais les coordonnées du Voilier Vt dans mon repère à l'instant t, j'en déduirais la distance  [tex]d(t)=V_tL_t[/tex]
J'étudierais alors la fonction d(t) pour déduire qu'elle passe par un minimum - pour ça, j'ai besoin de la dérivée [tex]d'(t)[/tex] - et j'en tire t en fonction de [tex]v_1,\,v_2,\,\theta[/tex].
$\theta$, ayant été défini par l'ordinateur de bord, serait donc une constante...
Si j'ignore que [tex]v_2 < v_1[/tex], il y a 3 cas :
[tex]v_2<v_1,\,v_2=v_1\text{ et } v_2>v_1[/tex]

Objections ?

[HS]Le cas n° 2 me rappelant une énigme déjà posée.

Quatre mouches sont placées aux 4 coins A, B, C, D d'une pièce carrée de côté a.
La seule condition posée est que les mouches volent dans le même plan et que chacune d'entre elles vole en ligne droite en direction de celle qui la précède.
La mouche A prend son envol et se dirige vers la D, mais B s'envole se dirige vers A et infléchit donc sa trajectoire.
C s'envole à son tour, se dirige vers B et infléchit donc sa trajectoire.
Quant à D, elle s'envole, se dirige vers C et infléchit donc sa trajectoire.
C'est alors que A se dirigeant vers D corrige à son tour sa trajectoire, ce qui fait que B....
Quelle est, en fonction de a, l'équation de la courbe décrite par chacune des mouches ?

N_B. Chaque mouche vole à la même vitesse.
C'était un sujet de bizuthage... Au même titre que "Connaissant le clair de lune, trouver le clair de l'autre..."... Ah ! ah !
[Fin HS]

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#18 02-01-2018 15:07:57

Yassine
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Re : Un voilier en perdition

Bonjour yoshi,
Je profite de cet échange pour te souhaiter une excellente année 2018.

J'ai deux "objections" sur ta formulation (je mets des guillemets pour signifier que ce sont des objections concernant la fidélité de ta formulation au sujet initial tel que je l'ai compris).
1- Le point $I$ n'est pas une donnée du problème. Le Liner se déplace bien selon l'axe que tu indiques, mais le voilier doit choisir son cap $\theta$ (calculé par le fameux ordinateur de bord. Aargh, cette intelligence artificielle qui nous envahit :-) ). Des choix différents $\theta_1$ et $\theta_2$ donneraient lieu à des points $I_1$ et $I_2$ différents.
2- Le problème n'est pas de calculer, pour un cap donné, à quel instant les deux bateaux seront les plus proches, mais comment, par un choix judicieux du cap, rendre ce minimum, si j'ose dire, encore plus minimal.

On pourrait le présenter comme ceci :
Deux voiliers partent du point $V_0$, le premier avec un cap $\theta_1$ et le second avec un cap $\theta_*$. Ou bout d'un instant $t_1$, le premier voilier sera à sa distance minimale du Liner, distance qu'on notera $d_{min}^1$. Au bout d'un instant $t_{*}$, le second voilier sera à sa distance minimale du Liner, notée $d_{min}^*$.
La problème se formule alors comme suit : comme choisir $\theta^*$ pour que, quel que soit le choix $\theta_1$ fait par le premier voilier,  l'on ai toujours $d_{min}^* \le d_{min}^1$. A noter qu'il n'y a aucune contrainte sur les durées mises par les voiliers pour atteindre ce minimum.

J'ajouterai même que, le fait que la voilier garde un cap constant est une conséquence et non une contrainte posée à priori (c'est pour ça que dans ma démonstration, j'ai considéré une trajectoire à priori arbitraire).


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#19 02-01-2018 16:09:46

yoshi
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Re : Un voilier en perdition

Bonjour,

1- Le point I n'est pas une donnée du problème. Le Liner se déplace bien selon l'axe que tu indiques, mais le voilier doit choisir son cap θ (calculé par le fameux ordinateur de bord. Aargh, cette intelligence artificielle qui nous envahit :-) ). Des choix différents θ1 et θ2 donneraient lieu à des points I1 et I2 différents.

Alors, il faut vraiment que je relise encore l'énoncé ???
Sinon, j'avais compris que HAL (le petit frère de l'ordinateur de bord de 2001 odyssée de l'espace) avait donné un cap $\theta$  et que l'intersection des deux trajectoires rectilignes était ce point I, étant entendu qu'au moment où le voilier arriverait au point I le Liner serait déjà bien plus loin.
I est donc le point O2.
Je viens de relire.
Evaristos a écrit que HAL avait fixé $\theta$, que les vitesses v1 et v2 sont des constantes, et que le voilier arriverait après un certain temps t en un point O1, alors que le Liner serait en I (O2 pour ton dessin) et que la distance O1O2 serait minimale. Non ?
Je viens de faire les calculs avec [tex]d,\,v_1,\, v_2,\,\theta[/tex].
J'ai fait ce que j'ai dit (I n'est là que pour faire joli : je ne m'en suis pas servi, puisque je ne connais son abscisse)
Au temps t :
- j'ai calculé les coordonnées position du Voilier, dans le repère,
- j'ai calculé l'abscisse du Liner
- j'ai calculé [tex][d(V,L)]^2[/tex]
- j'ai cherché si [tex]f(t)=[d(V,L)]^2[/tex] passe par un minimum... ça m'évite de dériver une fonction composée (quel flemmard je fais) !

J'obtiens bien un minimum...

La formule n'est pas sympathique du tout : pour la correction des choses, je devrais vérifier que la valeur de t donnant la distance mini est bien positive....
J'ai pris un exemple numérique bidon, mais là, pour mes données je devrais effectivement faire varier $\theta$ pour voir quel est le bon cap en gardant mes valeurs pour d, v1,v2 ce que Evaristos nous dispense de faire grâce à ses données non chiffrées.
Je trouve un temps positif...

Arf...
Je viens de voir :

Quelle est la valeur de a et la distance minimum O1O2 ?

Alors, je rends mon tablier ! Parce que je pense que je suis sur une mauvaise piste...
En fait, j'ai montré, que ce minimum existe bien pour un cap $\theta$ donné,
Mais s'il faut que je calcule le "bon" $\theta$... merci bien...

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#20 02-01-2018 18:29:16

Yassine
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Re : Un voilier en perdition

En effet, le but de l'exercice est de se mettre dans la peau de HAL et de déterminer le cap optimal.

Je redonne en synthèse ce que j'ai fait :
Etape 0 : Monter qu'étant donnée une trajectoire quelconque qui atteint le minimum (dans mon dessein, j'ai représenté par une ligne brisée la trajectoire pour indiquer qu'elle est quelconque), alors le point qui réalise ce minimum (appelé $O_1$ dans l'exercice) est aligné avec $P_1$ et $O_2$. C'est cette étape qu'evaristos a qualifié de "pas claire" et je ne vois pas où ce n'est pas clair !

Etape 1 : Le voilier a donc intérêt à naviguer avec un cap constant. Il a donc un seul degré de liberté, l'angle $\theta$ qu'il fait avec $P_1P_2$ (je peux aussi montrer, même si c'est intuitif, qu'il doit naviguer à sa vitesse maximale que je suppose inférieure strictement à celle du Liner).

Etape 2 : Pour un choix de cap donné, le minimum est obligatoirement atteint quand les points sont alignés (Cf Etape 0). Ceci détermine le point $O_2$ où se trouvera le Liner (à l'intersection des deux trajectoires). La connaissance de $O_2$ détermine le temps de navigation du Liner ($\tau = \dfrac{P_2O_2}{v_2}$), ce qui détermine la distance parcourue par le voilier $P_1O_1 = v_1\tau = v_1\dfrac{P_2O_2}{v_2}$), et détermine donc entièrement $O_1$.
Il est devient alors possible, via Pythagore, de calculer la distance $O_2O_1$.

Etape 3: Donc, pour un choix du cap $\theta$, on a une valeur de la distance $O_2O_1$ (le temps mis par les deux bateaux pour atteindre les points $O_1$ et $O_2$ n'intervient pas, seuls comptent le ratio des vitesses, et la distance initiale des bateaux). On est donc face à un bête calcul de minimum de la fonction $d(voilier,Liner)=f(\theta)$.

A noter que dans mon post initial, j'avais implicitement fait le changement de variable $\tan(\theta)=\dfrac{P_2O_2}{d}=\dfrac{v_2\tau}{d}$ et je dérivais par rapport à cette nouvelle variable $\tau$. Ce qui introduisait une confusion entre le $\tau^*$, solution de la contrainte de minimisation (ce que evaristos appelait : $O_2$ est fixe) et le $\tau$, variable muette.

Dernière modification par Yassine (02-01-2018 22:25:49)


L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel

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#21 04-01-2018 22:36:13

evaristos
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Re : Un voilier en perdition

Bonjour Yassine

J'ai relu ta démonstration de l'alignement des points P1,O1 et O2 et je l'ai (enfin) comprise (sans la réécrire car je ne me permettrais pas...) pour un changement de cap quelconque θ. Ce qui n'est pas évident à priori mais remarquable. Elle correspond à la mienne.
Puis ton premier et dernier post: tu calcules le min(O1O2(T)) par rapport à T le temps pour que les bateaux atteignent  le minimum pour un cap θ donné et O1O2= minV1N1 par rapport à t et θ, V1 et N1 sont les positions du voilier et du navire à l'instant t sur la trajectoire de cap θ.
Tu dois obtenir le résultat demandé.

Le calcul à l’aide d’une fonction à deux variables θ et t donne un point critique solution.
SI l’on appelle f(θ,t) = V1N12 le problème revient à calculer ses extrêma. Le calcul montre qu’il y  en a qu’un :

Si v1<v2, sin a = k et avec  k = v1/v2
O1O2 = d V (1 - k2) (racine carrée)
On montre ensuite que f(θ,t)  > ou =  d2(1 - k2)

Et si v1 > v2, sin a = 1/k et O1O2 = 0

Enfin si v1 = v2 , Le capitaine du voilier est obligé de naviguer avec un cap variable.
Il peut choisir une variation de cap b° pour se rapprocher du navire ou décider de naviguer "à vue "avec une variation continue de cap par exemple la "poursuite du chien » jusqu’à épuisement de son carburant; mais alors, sa distance au navire est décroissante mais elle n'atteindra jamais la distance d/2 qui est sa limite.

Remarque:

Le problème a été donné avec sa solution par le mathématicien polonais Hugo Steinhaus.
Son auteur indique  que P1, O1 et O2 sont alignés et que le vecteur vitesse v1 est le projeté orthogonal du vecteur v2 sur la droite (O1O2) tel que v1 = v2 sin a et ceci sans démonstration! Alors, la suite coule de source.
J’ai demandé à un ami physicien si l’on pouvait le justifier mais je n’ai pas eu de réponse.

Merci pour ta participation. Je ne comprends pas pourquoi il y a si peu de candidats pour la recherche des problèmes en général.

Dernière modification par evaristos (05-01-2018 00:44:57)

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