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#1 27-12-2017 14:47:52

nadiatara
Invité

Série numérique

Bonjour , j'ai un examen de série numérique et je bloque au niveau d'un exercice.

1. Etudier la nature des séries  suivantes et calculer leur somme en cas de convergence

Un = (5^n+(-2)^n/)10^n


je vous remercie d'avance

#2 27-12-2017 14:57:04

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 5 000

Re : Série numérique

Bonjour

   $ 5^n/10^n=(5/10)^n $ et tu as donc une série géométrique !

F

Hors ligne

#3 27-12-2017 15:04:41

nadiatara
Invité

Re : Série numérique

Merci de votre réponse, en fait je voudrais savoir si la série est convergente ou divergente

#4 27-12-2017 20:55:36

madi
Invité

Re : Série numérique

Bonjour
5/10=0.5 donc de raison inférieur à 1 donc la série diverge

#5 27-12-2017 21:36:18

nadiatara
Invité

Re : Série numérique

En fait je veux comprendre pourquoi on pose 5^n/10^n seulement

Merci

#6 28-12-2017 09:48:34

Wiwaxia
Membre
Lieu : Paris 75013
Inscription : 21-12-2017
Messages : 38

Re : Série numérique

Bonjour,

La suite proposée Un = (5n+(-2)n/)10n
est la somme de deux autres, dont d'une est monotone et l'autre alternée:
Un = Vn + Wn , avec Vn = (5/10)n  et  Wn = (-2/10)n .

Les sommes associées:
Sun = Sommek=0n(uk)
Svn = Sommek=0n(vk)
Swn = Sommek=0n(wk)
vérifient par définition: Sun = Svn + Swn
et les deux dernières sont celles de deux suites géométriques de raisons (0.5) et (-0.2), donc inférieures à l'unité en valeur absolue.

En conséquence Svn et Swn convergent et admettent pour limites respectives: Lv = 1/(1 - 0.5) = 2 , Lw = 1/(1 - (-0.2)) = 1/1.2 = 5/6 .
Donc Sun converge, et a pour limite Lu = Lv + Lw .

Une réponse plus rapide concernant la convergence de la première série est cependant possible dans la mesure où le rapport:
r = (un / vn) = (0.5n + (-0.2)n) / 0.5n = 1 + (-2/5)n
tend vers (1) losrque (n) tend vers l'infini (en raison du fait que Abs(-2/5) < 1);
la suite (un) est donc équivalente à (vn) quand (n) augmente indéfiniment, et comme la somme associée à cette dernière converge, il en va de même pour Sun.
N'est-ce pas l'un des critères de convergence des séries? (Lointains souvenirs ...)

Dernière modification par Wiwaxia (28-12-2017 09:55:37)

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