Forum de mathématiques - Bibm@th.net
Vous n'êtes pas identifié(e).
- Contributions : Récentes | Sans réponse
Pages : 1
#1 27-12-2017 15:47:52
- nadiatara
- Invité
Série numérique
Bonjour , j'ai un examen de série numérique et je bloque au niveau d'un exercice.
1. Etudier la nature des séries suivantes et calculer leur somme en cas de convergence
Un = (5^n+(-2)^n/)10^n
je vous remercie d'avance
#3 27-12-2017 16:04:41
- nadiatara
- Invité
Re : Série numérique
Merci de votre réponse, en fait je voudrais savoir si la série est convergente ou divergente
#4 27-12-2017 21:55:36
- madi
- Invité
Re : Série numérique
Bonjour
5/10=0.5 donc de raison inférieur à 1 donc la série diverge
#5 27-12-2017 22:36:18
- nadiatara
- Invité
Re : Série numérique
En fait je veux comprendre pourquoi on pose 5^n/10^n seulement
Merci
#6 28-12-2017 10:48:34
- Wiwaxia
- Membre
- Lieu : Paris 75013
- Inscription : 21-12-2017
- Messages : 411
Re : Série numérique
Bonjour,
La suite proposée Un = (5n+(-2)n/)10n
est la somme de deux autres, dont d'une est monotone et l'autre alternée:
Un = Vn + Wn , avec Vn = (5/10)n et Wn = (-2/10)n .
Les sommes associées:
Sun = Sommek=0n(uk)
Svn = Sommek=0n(vk)
Swn = Sommek=0n(wk)
vérifient par définition: Sun = Svn + Swn
et les deux dernières sont celles de deux suites géométriques de raisons (0.5) et (-0.2), donc inférieures à l'unité en valeur absolue.
En conséquence Svn et Swn convergent et admettent pour limites respectives: Lv = 1/(1 - 0.5) = 2 , Lw = 1/(1 - (-0.2)) = 1/1.2 = 5/6 .
Donc Sun converge, et a pour limite Lu = Lv + Lw .
Une réponse plus rapide concernant la convergence de la première série est cependant possible dans la mesure où le rapport:
r = (un / vn) = (0.5n + (-0.2)n) / 0.5n = 1 + (-2/5)n
tend vers (1) losrque (n) tend vers l'infini (en raison du fait que Abs(-2/5) < 1);
la suite (un) est donc équivalente à (vn) quand (n) augmente indéfiniment, et comme la somme associée à cette dernière converge, il en va de même pour Sun.
N'est-ce pas l'un des critères de convergence des séries? (Lointains souvenirs ...)
Dernière modification par Wiwaxia (28-12-2017 10:55:37)
Hors ligne
Pages : 1