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#1 23-12-2017 03:34:16
- soufian
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mesurabilté et integrabilité d'une fonction
sallut a tous ; j'ai besion de l'aide pour cet exercice car il est un peu compliqué et Merci d'avance
soit ƒ une fonction de ℝ dans ℝ .
1) Montrer que ƒ est mesurable si et seulement si pour tout q∈ℚ , l’ensemble {x : f(x)>q} est mesurable .
2) Soit x₀ un réel , montrer directement que l’application x → ƒ(x+x₀) est mesurable .
3) Meme question pour l'appliaction x → ƒ(kx) ou k⋲ℝ .
4) soif ƒ une fonction intégrable, montrer que la fonction x → ƒ(x+x₀) est intégrable et que ∫ℝ ƒ(x)dλ ₌ ∫ℝƒ(x+x₀)dλ .on commencera par demontrer la relation pour les fonctions indicatriaces .
5) soif ƒ une fonction intégrable, montrer que la fonction x → ƒ(kx) est intégrable et que ∫ℝ ƒ(xk)dλ ₌∣k∣ ∫ℝƒ(x)dλ .
6) Etudier la mesurabilité et l'intégrabilité de la fonctions definie sur ℝ² par :
ƒ(x,y)= (x-y)/max(x³,y³) si x≥1,y≥1 ƒ(x,y)=0 ailleurs .
Dernière modification par soufian (23-12-2017 03:42:46)
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#6 23-12-2017 16:47:12
- soufian
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Re : mesurabilté et integrabilité d'une fonction
d'aprés vous ;
on suppose que ƒ est mesurable et on pose h(x)=x+x₀ qui est mesurable car elle est continue
et comme ƒ(x+x₀)=ƒ∘h(x) alors elle est mesurable comme composition de deux fonctions mesurables ..
...et donc ça sera la meme chose pour la question 3)
Merci beaucoup Fred
soufian
Dernière modification par soufian (23-12-2017 16:52:12)
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#8 24-12-2017 10:26:51
- Fred
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Re : mesurabilté et integrabilité d'une fonction
Comme c'est écrit on commence par les fonctions indicatrices. C'est presque évident par invariance de la mesure de Lebesgue par translation. C'est ensuite vrai pour les combinaisons linéaires de fonctions indicatrices.
Ensuite on montre l'égalité pour les fonctions mesurables positives en les approchant par une suite croissante de fonctions étagées.
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