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#1 17-12-2017 20:07:24

Marco11
Membre
Inscription : 07-09-2017
Messages : 42

Inéquation trigonométrique

Bonsoir à tous. S'il vous plaît,je sollicite votre expertise pour m'aider à résoudre cette inéquation :
[tex] cos(\frac{π}{x})>=0 ,x>=\frac{1}{2}[/tex]. J'ai essayé de la manière suivante : [tex] cos(\frac{π}{x})>=0 \Longleftrightarrow \frac{π}{x} \in [\frac{-π}{2},\frac{π}{2}[/tex].Mais rien de bon par la suite.    Merci d'avance.

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#2 17-12-2017 20:34:28

Roro
Membre
Inscription : 07-10-2007
Messages : 611

Re : Inéquation trigonométrique

Bonsoir Marco11,

Dans un premier temps, tu peux effectivement essayer de résoudre correctement l'inéquation $\cos(y)\geq 0$.

La réponse n'est pas celle que tu as donnée... (fait un dessin de la fonction $\cos$ sur $[-\pi,3\pi]$ pour t'en convaincre).

Roro.

Dernière modification par Roro (17-12-2017 20:35:12)

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#3 17-12-2017 21:07:52

Marco11
Membre
Inscription : 07-09-2017
Messages : 42

Re : Inéquation trigonométrique

Bonsoir, Roro... C'est vrai j'ai oublié d'ajouter des paramètres : [tex] cos(y)≥0 \Longleftrightarrow  y \in [-\frac{π}{2} +2kπ ; \frac{π}{2} + 2kπ ] [/tex]... En réalité,mon problème se trouve au niveau de partir des solutions dans [tex] [-π;π] [/tex](par exemple) pour les solutions dans R.

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#4 17-12-2017 21:24:16

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 5 051

Re : Inéquation trigonométrique

Bonsoir,

  Je pense que tu as oublié d'analyser une donnée : tu sais que $x\geq 1/2$. Ainsi, tu en déduis que $0<\frac\pi x\leq 2\pi$.
Maintenant, pour $y\in ]0,2\pi]$, tu connais les solutions de $\cos(y)\geq 0$ (tu vas trouver deux intervalles de solutions). Il te reste ensuite à résoudre une inéquation du type $\frac{\pi}x\in ]0,\pi/2]$, et là j'ai l'impression que tu peux savoir le faire...

F.

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#5 17-12-2017 21:46:38

Marco11
Membre
Inscription : 07-09-2017
Messages : 42

Re : Inéquation trigonométrique

Ah!! Oui,c'est clair. J'ai vraiment négligé ce détail important... Je vous remercie.

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#6 24-12-2017 00:30:28

moise
Membre
Inscription : 21-12-2017
Messages : 1

Re : Inéquation trigonométrique

Pour résoudre l inéquation, cos⁡(π/x)≥0 pour x≥1/2 posez d’ abord : t =  π/x
En effet :                                        t    =     π/x            ⇔       0<t≤2π
Résolvons donc cos⁡(t)≥0 sur ]0 ,2π ].
On résout d’ abord l’équation cos⁡(t)=0 et on trouve entre 0 et 2π : t= π/2 ou t=3π/2
On dresse par suite le tableau de signe et on obtient :
                                         cos⁡(t)≥0 ⟺t ϵ ]0,π/2]∪[π/2,3π/2]
    Si :            0<t≤π/2      alors        2≤x
    Si :             π/2≤t≤ 3π/2  alors      1/2≤x≤3/2
    S =[2,+∞]∪[1/2,3/2]

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