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#1 14-12-2017 08:01:36

abraha_11
Membre
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Expression d'une fonction

Bonjour
Déterminer une fonction f définie sur IR et vérifiant pour tout x de IR:

* 3f(x)+2f(-x) = -5x+4 si x < 3

* 3f(x)+2f(-x) = 4x-1 si 3 < x
merci

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#2 14-12-2017 08:44:24

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 12 014

Re : Expression d'une fonction

Bonjour,

Et toi, qu'as tu déjà fait ?
Qu'est-ce que tu sais de f ? fonction affine ? fonction du 2nd degré ?

@+

Dernière modification par yoshi (14-12-2017 09:38:04)


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#3 15-12-2017 00:17:32

abraha_11
Membre
Inscription : 26-10-2016
Messages : 3

Re : Expression d'une fonction

f est une fonction numérique a variable réelle

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#4 15-12-2017 13:15:48

Black Jack
Membre
Inscription : 15-12-2017
Messages : 28

Re : Expression d'une fonction

Salut,

Je ne vois pas, à partir de l'énoncé, pourquoi on peut dire que f définie pour tout x de IR.

A partir de :

3f(x)+2f(-x) = -5x+4 si x < 3
3f(x)+2f(-x) = 4x-1 si 3 < x

On ne peut pas trouver une valeur pour f(3)

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#5 15-12-2017 15:56:25

abraha_11
Membre
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Messages : 3

Re : Expression d'une fonction

excuse on peut prendre une inégalité large d un cote pour que f soit définie en 3

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#6 15-12-2017 18:57:39

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 12 014

Re : Expression d'une fonction

Re,

Et toi, qu'as tu déjà fait ?

Stricte application de nos Règles...
Tu n'y as pas répondu, mais je sèche, donc je vais t'indiquer à quoi j'ai pensé et qui ne colle pas...
Deux valeurs différentes selon que x>3 ou x <3, m'a fait penser à la valeur absolue d'une fonction affine...
[tex]f(x)=|ax+b|[/tex],  [tex]ax+b[/tex] change de signe pour [tex]x=-\frac b a[/tex] ici pour 3...
D'où [tex]-\frac b a = 3[/tex]   et   [tex]b=-3a[/tex]
Soit [tex]f(x)=|ax-3a|=|a|\times |x-3|[/tex]  et  [tex]f(-x)=|a|\times |-x-3|=|a|\times |x+3|[/tex]
Si x>3  alors [tex] 3f(x)+2f(-x) =|a|(3(x-3)+2(x+3))[/tex] et on n'obtient pas un signe - devant x...

Alors j'ai essayé comme ça :
[tex]f(x)=|-ax+3a|=|a|\times |-x+3|[/tex]  et  [tex]f(-x)=|a|\times |x+3|[/tex]
Si x >3,[tex]-x+3 <0[/tex], alors [tex]3f(x)+2f(-x) =|a|(3(x-3)+2(x+3))[/tex] et je retombe sur ce qui a été fait ci-dessus...

En outre, il faudrait encore étudier 2 cas :  [tex]-3<x<3[/tex] et [tex]x<-3[/tex]...
Partir avec une valeur absolue d'une fonction de degré supérieur ou égal à 2, ne marcherait pas non plus : on n'éliminerait pas les [tex]x^n[/tex]... C'est pourquoi j'ai pensé à une fonction affine...

Il me vient une idée que je n'ai pas testée, quelque chose du genre [tex]ax+b +|cx+d|[/tex] mais ça n'élimine pas le problème des deux tests supplémentaires autour de -3...

Si ce n'est pas une histoire de valeur absolue, alors, je ne vois pas... Désolé...
Quelqu'un de plus malin que moi passera sûrement !

@+


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#7 15-12-2017 19:41:48

Black Jack
Membre
Inscription : 15-12-2017
Messages : 28

Re : Expression d'une fonction

Salut,

Je pense qu'il faut couper le problème en 3

Etudier pour -3 < x < 3, et pour x > 3 et pour x < -3

Je montre pour le cas -3 < x < 3 :

Si -3 < x < 3
3f(x) + 2.f(-x) = -5x + 4
3f(-x) + 2.f(x) = 5x + 4

3f(x) + 2.f(-x) = -5x + 4
2f(-x) + 4/3 . f(x) = 10/3 x + 8/3

3f(x) + 2.f(-x) - 2f(-x) - 4/3 . f(x) = -5x + 4 - 10/3x - 8/3

5/3 . f(x) = -25/3 x + 4/3
f(x) = -5x + 4/5 (pour -3 < x < 3)

Je te laisse méditer sur les 2 cas restants (x > 3 et x < -3)
...

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#8 15-12-2017 20:34:18

tibo
Membre actif
Inscription : 23-01-2008
Messages : 1 008

Re : Expression d'une fonction

Salut,

Heee ! Pas si évident que ça !


Je suis parti sur une idée similaire à yoshi.
J'ai posé $F(x)=3f(x)+2f(-x)$.
Donc $F(x)=\left\{\begin{array}{ll}-5x+4 & \text{si}\ x<3 \\ 4x-1 & \text{si}\ x\ge 3\end{array}\right.$
On pense alors immédiatement à la valeur absolue. J'ai essayé à quelque chose de la forme $\lambda|x-3|+ax+b$. Mais il y a un gros problème de continuité. $F$ n'est pas continue en 3 !
Du coup cette piste ne peut pas mener à grand chose...
Mais ça permet de se rendre compte qu'il y a vrai problème en 3, et surement aussi en -3...


Testons autre chose :
Posons $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}ax+b & \text{si}\ x\le3 \\ cx+d & \text{si}\ -3<x<3 \\ ex+f & \text{si}\ x\ge 3 \end{array}\right.$
On obtient ainsi le système suivante
$\left\{\begin{array}{l}3(ax+b)+2(ex+f)=-5x+4 \\ 3(ex+f)+2(ax+b)=4x-1 \\ 3(cx+d)+2(-cx+d)=-5x+4 \end{array}\right.$
Je n'ai pas fait les calculs, mais ça a l'air de marcher pas trop mal.

Dernière modification par tibo (15-12-2017 20:41:06)


A quoi sert une hyperbole?
----- A boire de l'hypersoupe pardi !

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#9 15-12-2017 20:47:50

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 12 014

Re : Expression d'une fonction

Re,

Oui, oui...
Merci tibo, tu es clair.
Mais dans ce cas l'énoncé est plus que douteux dans sa formulation : je me suis bien rendu compte du pb sur -3, mais j'ai laissé courir parce que l'énoncé ne donne que 2 cas autour de 3...

@+


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#10 15-12-2017 21:31:13

Roro
Membre
Inscription : 07-10-2007
Messages : 608

Re : Expression d'une fonction

Bonsoir,

Je viens de lire vos commentaires et je peux vous proposer une solution alternative.
Comme vous, je note $F(x)=3f(x)+2f(-x)$.
Cette fonction vérifie :
$$\left\{\begin{aligned} & F(x)=3f(x)+2f(-x) \\ & F(-x)=3f(-x)+2f(x) \end{aligned}\right.$$
On peut 'inverser' ce système pour trouver $f(x)$ en fonction de $F(x)$. Par exemple en calculant
$$3F(x) - 2 F(-x) = 5 f(x)$$
Si vous me donnez $F$, j'en déduis donc $f(x)$...

Je n'ai pas fait les calculs dans le cas proposé mais on devrait retrouver votre solution !

Roro.

Dernière modification par Roro (15-12-2017 21:32:16)

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#11 16-12-2017 16:21:51

Black Jack
Membre
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Messages : 28

Re : Expression d'une fonction

Salut

En utilisant une méthode analogue à tous les cas (comme dans mon message d'origine), on arrive facilement à :

f(x) = - 7/5 x + 14/5 (pour x < -3)
f(x) = -5x + 4/5 (pour -3 < x < 3)
f(x) = 2/5 x - 11/5 (pour x > 3)

Et il y a bien entendu un soucis pour x = 3 (et par effet miroir en x = -3)

Il est impossible qu'il en soit autrement puisque :

Pour x < 3, on a lim(x--> +3-) [3f(x) + 2.f(-x)] = -5*3 + 4 = -11
Pour x > 3, on a lim(x--> +3+) [3f(x) + 2.f(-x)] = 5*3 + 4 = 19

Donc, même si on prend une inégalité large dans une des 2 relations, on aura forcément une discontinuité dans f pour x = 3 (et aussi pour x = -3)

Je laisse le soin à qui le veut de vérifier l'exactitude des 3 relations que j'ai données ... et de les retrouver dans les 2 cas que je n'ai pas développé dans ma précédente intervention.

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