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#1 04-12-2017 14:12:32
- seif
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Suites dans Rn
Bonjour,
La topologie c’est nouveau pour moi, j’aimerais bien que vous m’aidiez pour résoudre cet exercice.
Je vous remercie d’avance.
Soient [tex]a\ge 0[/tex] et [tex]b\ge 0[/tex], [tex]{{\left( {{x}_{k}} \right)}_{k}}[/tex] et [tex]{{\left( {{y}_{k}} \right)}_{k}}[/tex] deux suites dans [tex]{{\mathbb{R}}^{n}}[/tex] tels que :
[tex]\underset{k\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\parallel {{x}_{k}}-{{y}_{k}}\parallel =a[/tex]
[tex]\underset{k\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\parallel {{x}_{k}}+{{y}_{k}}\parallel =b[/tex]
Pour quelles valeurs a et b, peut-on déduire qu’il existe des limites pour :
[tex]\underset{k\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\parallel {{x}_{k}}\parallel[/tex] et [tex]\underset{k\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\parallel {{y}_{k}}\parallel[/tex]
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#2 04-12-2017 18:05:55
- Fred
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Re : Suites dans Rn
Bonsoir,
Si $a=0$ et $b=0$, alors c'est vrai... je te laisse le démontrer à l'aide de l'inégalité triangulaire.
Si $a\neq 0$ ou $b\neq 0$, alors je crois que ce n'est pas vrai. Pour cela, je commencerais par traiter le cas $n=1$ et par trouver deux réels
$x_0$ et $y_0$ tels que $x_0-y_0=a$ et $x_0+y_0=b$. Et ensuite je poserais $x_n=x_0$ si $n$ est pair, $x_n=y_0$ si $n$ est impair....
F.
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#3 05-12-2017 21:12:42
- seif
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Re : Suites dans Rn
pour a=0 et b=0
[tex]\forall \varepsilon >0\text{ }\exists \text{ }N\in \mathbb{N}[/tex] tel que [tex]k\ge 0\text{ }\Rightarrow \text{ }\parallel {{x}_{k}}-{{y}_{k}}\parallel <\varepsilon[/tex]
[tex]\forall \varepsilon >0\text{ }\exists \text{ }N\in \mathbb{N}[/tex] tel que [tex]k\ge 0\text{ }\Rightarrow \text{ }\parallel {{x}_{k}}+{{y}_{k}}\parallel <\varepsilon[/tex]
Avec l'inégalité triangulaire : [tex]2\parallel {{x}_{k}}\parallel \le \parallel {{x}_{k}}-{{y}_{k}}\parallel +\parallel {{x}_{k}}+{{y}_{k}}\parallel \le 2\varepsilon [/tex]
Alors : [tex]\underset{k\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\parallel {{x}_{k}}\parallel =0[/tex]
C’est bon comme cela ? moi je ne suis pas sûr.
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#4 05-12-2017 22:04:19
- Fred
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Re : Suites dans Rn
Oui, c'est bon mais tu pouvais simplement partir de
[tex]0\leq 2\parallel {{x}_{k}}\parallel \le \parallel {{x}_{k}}-{{y}_{k}}\parallel +\parallel {{x}_{k}}+{{y}_{k}}\parallel [/tex]
et utiliser le théorème des gendarmes pour conclure que $(\|x_k\|)$ tend vers 0.
F.
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#5 05-12-2017 22:40:39
- seif
- Membre
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Re : Suites dans Rn
oui c'est bon aussi avec le théorème de gendarmes.
Avec l’inégalité triangulaire renversée je trouve :
[tex]2\parallel {{y}_{k}}\parallel \ge \left| \parallel {{x}_{k}}+{{y}_{k}}\parallel -\parallel {{x}_{k}}-{{y}_{k}}\parallel \right|[/tex]
Comment peut-on déduire la limite de [tex]\left( \parallel {{y}_{n}}\parallel \right)[/tex] ?
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#6 06-12-2017 19:08:10
- seif
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Re : Suites dans Rn
Bonjour,
Je pense que j’ai trouvé :
[tex]\parallel {{x}_{k}}-{{y}_{k}}{{\parallel }^{2}}+\parallel {{x}_{k}}+{{y}_{k}}{{\parallel }^{2}}=2\left( \parallel {{x}_{k}}{{\parallel }^{2}}+\parallel {{y}_{k}}{{\parallel }^{2}} \right)[/tex]
comme [tex]\left( \parallel {{x}_{k}}\parallel \right)[/tex] tend vers [tex]0[/tex] on peut donc conclure que [tex]\left( \parallel {{y}_{k}}\parallel \right)[/tex] tend aussi vers [tex]0[/tex]
Concernant les cas [tex]a\ne 0[/tex] et [tex]b\ne 0[/tex] je n’ai pas bien compris, cela ne te dérange pas si tu m’expliques encore mieux ?
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#7 06-12-2017 22:33:46
- Fred
- Administrateur
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Re : Suites dans Rn
Re-
Tu pouvais aussi faire par l'inégalité triangulaire pour $y_k$, en utilisant que $2y_k=(y_k-x_k)+(y_k+x_k)$.
Si $a\neq 0$ ou $b\neq 0$ (et en dimension 1), pose $c=(b+a)/2$ et $d=(b-a)/2$. Alors $c+d=b$ et $c-d=a$. Considère ensuite les suites $(x_n)$
définies par $x_{2n}=c$, $x_{2n+1}=d$, $y_{2n}=d$, $y_{2n+1}=c$. Que peux tu dire que $\|x_k-y_k\|?$de $\|x_k+y_k\|$?
Est ce que la suite $\|x_n\|$ converge?
F.
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#8 09-12-2017 18:12:46
- seif
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Re : Suites dans Rn
Bonjour,
Je vois que tu souhaites utiliser Bolzano-Weierstrass, mais je n’ai pas compris, tu choisis n=1 pour la dimension et en même temps tu choisis n pour les suites extraites, est-ce que n=1 aussi pour les suites extraites ? et pourquoi les suites extraites sont-elles constantes ?
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#10 09-12-2017 20:44:04
- seif
- Membre
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Re : Suites dans Rn
On choisit les suites extraites constantes pour satisfaire ceci :
[tex]\parallel {{x}_{k}}-{{y}_{k}}\parallel =\parallel {{x}_{2n}}-{{y}_{2n}}\parallel =\parallel {{x}_{2n}}-{{x}_{2n+1}}\parallel =\parallel {{y}_{2n+1}}-{{y}_{2n}}\parallel =\left| c-d \right|=a[/tex]
[tex]\parallel {{x}_{k}}+{{y}_{k}}\parallel =\parallel {{x}_{2n}}+{{y}_{2n}}\parallel =\parallel {{x}_{2n}}+{{x}_{2n+1}}\parallel =\parallel {{y}_{2n+1}}+{{y}_{2n}}\parallel =\left| c+d \right|=b[/tex]
?
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#11 10-12-2017 21:09:10
- Fred
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Re : Suites dans Rn
Bonjour,
Non, je n'ai aucune envie d'utiliser le théorème de Bolzano-Weierstras. Je choisis juste deux suites, et pour montrer que $(\|x_k\|)$ ne converge pas, je prouve que $(\|x_{2k+1}\|)$ et $(\|x_{2k}\|)$ convergent vers une limite différente.
J'ai proposé de faire d'abord l'exemple en dimension 1 pour que ce soit plus facile à écrire, mais on peut l'écrire en dimension quelconque, en définissant la première coordonnée comme je l'ai fait, et en prenant toutes les autres coordonnées égale à 0.
F.
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#14 13-12-2017 18:32:47
- seif
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Re : Suites dans Rn
Les suites extraites sont convergentes, alors que le théorème de Bolzano-Weierstras dit « De tout de suite réelle bornée, on peut extraire une suite convergente » ne faut-il pas qu’on montre d’abord que les suites [tex]{{\left( {{x}_{k}} \right)}_{k}}[/tex] et [tex]{{\left( {{y}_{k}} \right)}_{k}}[/tex] sont bornées alors à ce moment-là on peut extraire les suites convergentes ?
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#15 13-12-2017 21:15:04
- Fred
- Administrateur
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Re : Suites dans Rn
Bonjour,
Je ne vois pas où est le problème. Le théorème de Bolzano-Weierstrass est un théorème abstrait, qui te dit que de toute suite bornée tu peux extraire une sous-suite convergente. Mais si tu as une suite concrète, tu peux extraire "à la main" une sous-suite et dire qu'elle est convergente sans avoir besoin de ce théorème. L'exemple le plus simple est la suite $u_n=(-1)^n$. Je n'ai absolument pas besoin du théorème de Bolzano-Weierstrass pour dire que la suite $u_{2n}=1$ est convergente!!!
F.
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#16 13-12-2017 21:56:55
- seif
- Membre
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Re : Suites dans Rn
Bonsoir,
Je souhaite utiliser le théorème de Bolzano-Weierstrass, car je ne connais pas les deux suites (yn) et(yn).
Est-ce que c’est faux si j’écris :
"
la somme et la différence de deux suites bornées est encore borné. Comme (xn - yn) et (xn+ yn) sont bornées alors en faisant la somme et la différence, on en conclut que (xn) et (yn) sont bornées. Et après je peux extraire mes sous-suites convergentes " ?
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