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#1 11-12-2017 13:21:50

Edison11
Membre
Inscription : 11-12-2017
Messages : 9

Exercice sur les Applications

Bonjour j'aurai besoin d'aide pour savoir si j'ai correctement répondu aux questions, voici l'énoncé :

Soient deux ensembles E,F.

1) Soit A une partie de E⋂F. A est-elle une partie de E? de F? En déduire une comparaison de P(E⋂F) avec P(E)⋂P(F).

2) Soit B un ensemble qui est a la fois contenu dans E et aussi dans F. B est-il contenu dans E⋂F? En déduire une deuxième comparaison de P(E⋂F) avec P(E)⋂P(F).

3) Sur un exemple simple, montrez qu'une partie  de E⋃F peut ne pas être contenue dans E, ni dans F.

4) Montrez que toute partie de E est une partie de E⋃F. En déduire une comparaison de P(E⋃F) avec P(E)⋃P(F).

Ce que j'ai répondu :

1) A∊P(E⋂F) <=> A⊂(E⋂F)

A⊂(E⋂F) <=> ∀x∊A, x∊(E⋂F)

or x∊(E⋂F) <=> x∊E et x∊F

ainsi ∀x∊A, x∊E et x∊F

on peut donc dire que A⊂E et A⊂F

donc A∊P(E) et A∊P(F)

On en déduit donc que P(E⋂F)=P(E)⋂P(F)

2) On nous dit que B∊P(E) et B∊P(F) donc que B⊂E et B⊂F

Si B⊂E et B⊂F alors B⊂(E⋂F)

Concernant la deuxième comparaison je ne sais vraiment pas ...

3) E⋃F ={x / x∊E ou x∊F} (le ou n'est pas exclusif)

Supposons un ensemble B⊂F et B∉P(E)

alors B⊂(E⋃F) mais B⊄E

4) Comme dit à la question précédente : E⋃F ={x / x∊E ou x∊F} (le ou n'est pas exclusif)

donc si x∊E, x∊ E⋃F

de la même manière :

si B⊂E alors B⊂(E⋃F) <=> B∈P(E) alors B∈P(F)

On en déduit donc que :

P(E⋃F)≠P(E)⋃P(F)

J'aimerai savoir si mes réponses et justifications sont correctes et pertinentes, merci beaucoup!

Hors ligne

#2 11-12-2017 15:40:43

Fred
Administrateur
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Messages : 7 035

Re : Exercice sur les Applications

Bonjour à toi,

Edison11 a écrit :

Bonjour j'aurai besoin d'aide pour savoir si j'ai correctement répondu aux questions, voici l'énoncé :

Soient deux ensembles E,F.

1) Soit A une partie de E⋂F. A est-elle une partie de E? de F? En déduire une comparaison de P(E⋂F) avec P(E)⋂P(F).

2) Soit B un ensemble qui est a la fois contenu dans E et aussi dans F. B est-il contenu dans E⋂F? En déduire une deuxième comparaison de P(E⋂F) avec P(E)⋂P(F).

3) Sur un exemple simple, montrez qu'une partie  de E⋃F peut ne pas être contenue dans E, ni dans F.

4) Montrez que toute partie de E est une partie de E⋃F. En déduire une comparaison de P(E⋃F) avec P(E)⋃P(F).

Ce que j'ai répondu :

1) A∊P(E⋂F) <=> A⊂(E⋂F)

A⊂(E⋂F) <=> ∀x∊A, x∊(E⋂F)

or x∊(E⋂F) <=> x∊E et x∊F

ainsi ∀x∊A, x∊E et x∊F

on peut donc dire que A⊂E et A⊂F

donc A∊P(E) et A∊P(F)

On en déduit donc que P(E⋂F)=P(E)⋂P(F)

Selon moi, tu as juste démontré que si $A\in P(E\cap F)$, alors $A\in P(E)\cap P(F)$, et donc tu n'as démontré qu'une seule inclusion.

2) On nous dit que B∊P(E) et B∊P(F) donc que B⊂E et B⊂F

Si B⊂E et B⊂F alors B⊂(E⋂F)

Concernant la deuxième comparaison je ne sais vraiment pas ...

C'est l'autre inclusion....

3) E⋃F ={x / x∊E ou x∊F} (le ou n'est pas exclusif)

Supposons un ensemble B⊂F et B∉P(E)

alors B⊂(E⋃F) mais B⊄E

Ta réponse n'est pas convaincante. Comment peut on être sûr de l'existence de cet ensemble $B$?
Quand on te demande "sur un exemple simple,..." tu dois fournir effectivement un tel exemple,
par exemple en disant $E=\{1,2\}$, $F=\{3,4\}$ et $B=\cdots$.

4) Comme dit à la question précédente : E⋃F ={x / x∊E ou x∊F} (le ou n'est pas exclusif)

donc si x∊E, x∊ E⋃F

de la même manière :

si B⊂E alors B⊂(E⋃F) <=> B∈P(E) alors B∈P(F)

Je ne comprends pas cette dernière équivalence...

F.

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#3 11-12-2017 16:36:16

Edison11
Membre
Inscription : 11-12-2017
Messages : 9

Re : Exercice sur les Applications

Merci je crois avoir compris pour les 3 premières questions, concernant la question 4 :

E⊂(E⋃F)
F⊂(E⋃F)

P(E)⊂P(E⋃F)
P(F)⊂P(E⋃F)

Donc P(E)⋃P(F)⊂P(E⋃F)

(E⋃F)⊄E
(E⋃F)⊄F

P(E⋃F)⊄P(E)
P(E⋃F)⊄P(F)

Donc P(E⋃F)⊄ P(E)⋃P(F)

C'est juste ?

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#4 11-12-2017 20:53:45

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : Exercice sur les Applications

Bonjour,

  La première partie de la question 4, je suis d'accord. La seconde partie, non!
Tu pourrais très bien avoir (par exemple si $E=F$) que $E\cup F=E$....

Le fait que l'on n'a pas toujours l'inclusion $P(E\cup F)\subset P(E)\cup P(F)$ vient de la question précédente, et de l'exemple simple que tu as donné.

F.

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#5 12-12-2017 12:04:12

Edison11
Membre
Inscription : 11-12-2017
Messages : 9

Re : Exercice sur les Applications

D'accord donc on peut le démontrer que en utilisant un exemple ?

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#6 12-12-2017 13:11:29

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : Exercice sur les Applications

Il y a des cas où tu as égalité et des cas où tu ne l'as pas. Pour démontrer que tu n'as pas toujours égalité, il suffit de trouver un exemple.

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#7 13-12-2017 12:15:40

Edison11
Membre
Inscription : 11-12-2017
Messages : 9

Re : Exercice sur les Applications

Merci beaucoup pour votre aide!

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