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#1 11-12-2017 13:21:50
- Edison11
- Membre
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- Messages : 9
Exercice sur les Applications
Bonjour j'aurai besoin d'aide pour savoir si j'ai correctement répondu aux questions, voici l'énoncé :
Soient deux ensembles E,F.
1) Soit A une partie de E⋂F. A est-elle une partie de E? de F? En déduire une comparaison de P(E⋂F) avec P(E)⋂P(F).
2) Soit B un ensemble qui est a la fois contenu dans E et aussi dans F. B est-il contenu dans E⋂F? En déduire une deuxième comparaison de P(E⋂F) avec P(E)⋂P(F).
3) Sur un exemple simple, montrez qu'une partie de E⋃F peut ne pas être contenue dans E, ni dans F.
4) Montrez que toute partie de E est une partie de E⋃F. En déduire une comparaison de P(E⋃F) avec P(E)⋃P(F).
Ce que j'ai répondu :
1) A∊P(E⋂F) <=> A⊂(E⋂F)
A⊂(E⋂F) <=> ∀x∊A, x∊(E⋂F)
or x∊(E⋂F) <=> x∊E et x∊F
ainsi ∀x∊A, x∊E et x∊F
on peut donc dire que A⊂E et A⊂F
donc A∊P(E) et A∊P(F)
On en déduit donc que P(E⋂F)=P(E)⋂P(F)
2) On nous dit que B∊P(E) et B∊P(F) donc que B⊂E et B⊂F
Si B⊂E et B⊂F alors B⊂(E⋂F)
Concernant la deuxième comparaison je ne sais vraiment pas ...
3) E⋃F ={x / x∊E ou x∊F} (le ou n'est pas exclusif)
Supposons un ensemble B⊂F et B∉P(E)
alors B⊂(E⋃F) mais B⊄E
4) Comme dit à la question précédente : E⋃F ={x / x∊E ou x∊F} (le ou n'est pas exclusif)
donc si x∊E, x∊ E⋃F
de la même manière :
si B⊂E alors B⊂(E⋃F) <=> B∈P(E) alors B∈P(F)
On en déduit donc que :
P(E⋃F)≠P(E)⋃P(F)
J'aimerai savoir si mes réponses et justifications sont correctes et pertinentes, merci beaucoup!
Hors ligne
#2 11-12-2017 15:40:43
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 035
Re : Exercice sur les Applications
Bonjour à toi,
Bonjour j'aurai besoin d'aide pour savoir si j'ai correctement répondu aux questions, voici l'énoncé :
Soient deux ensembles E,F.
1) Soit A une partie de E⋂F. A est-elle une partie de E? de F? En déduire une comparaison de P(E⋂F) avec P(E)⋂P(F).
2) Soit B un ensemble qui est a la fois contenu dans E et aussi dans F. B est-il contenu dans E⋂F? En déduire une deuxième comparaison de P(E⋂F) avec P(E)⋂P(F).
3) Sur un exemple simple, montrez qu'une partie de E⋃F peut ne pas être contenue dans E, ni dans F.
4) Montrez que toute partie de E est une partie de E⋃F. En déduire une comparaison de P(E⋃F) avec P(E)⋃P(F).
Ce que j'ai répondu :
1) A∊P(E⋂F) <=> A⊂(E⋂F)
A⊂(E⋂F) <=> ∀x∊A, x∊(E⋂F)
or x∊(E⋂F) <=> x∊E et x∊F
ainsi ∀x∊A, x∊E et x∊F
on peut donc dire que A⊂E et A⊂F
donc A∊P(E) et A∊P(F)
On en déduit donc que P(E⋂F)=P(E)⋂P(F)
Selon moi, tu as juste démontré que si $A\in P(E\cap F)$, alors $A\in P(E)\cap P(F)$, et donc tu n'as démontré qu'une seule inclusion.
2) On nous dit que B∊P(E) et B∊P(F) donc que B⊂E et B⊂F
Si B⊂E et B⊂F alors B⊂(E⋂F)
Concernant la deuxième comparaison je ne sais vraiment pas ...
C'est l'autre inclusion....
3) E⋃F ={x / x∊E ou x∊F} (le ou n'est pas exclusif)
Supposons un ensemble B⊂F et B∉P(E)
alors B⊂(E⋃F) mais B⊄E
Ta réponse n'est pas convaincante. Comment peut on être sûr de l'existence de cet ensemble $B$?
Quand on te demande "sur un exemple simple,..." tu dois fournir effectivement un tel exemple,
par exemple en disant $E=\{1,2\}$, $F=\{3,4\}$ et $B=\cdots$.
4) Comme dit à la question précédente : E⋃F ={x / x∊E ou x∊F} (le ou n'est pas exclusif)
donc si x∊E, x∊ E⋃F
de la même manière :
si B⊂E alors B⊂(E⋃F) <=> B∈P(E) alors B∈P(F)
Je ne comprends pas cette dernière équivalence...
F.
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#3 11-12-2017 16:36:16
- Edison11
- Membre
- Inscription : 11-12-2017
- Messages : 9
Re : Exercice sur les Applications
Merci je crois avoir compris pour les 3 premières questions, concernant la question 4 :
E⊂(E⋃F)
F⊂(E⋃F)
P(E)⊂P(E⋃F)
P(F)⊂P(E⋃F)
Donc P(E)⋃P(F)⊂P(E⋃F)
(E⋃F)⊄E
(E⋃F)⊄F
P(E⋃F)⊄P(E)
P(E⋃F)⊄P(F)
Donc P(E⋃F)⊄ P(E)⋃P(F)
C'est juste ?
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#4 11-12-2017 20:53:45
- Fred
- Administrateur
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- Messages : 7 035
Re : Exercice sur les Applications
Bonjour,
La première partie de la question 4, je suis d'accord. La seconde partie, non!
Tu pourrais très bien avoir (par exemple si $E=F$) que $E\cup F=E$....
Le fait que l'on n'a pas toujours l'inclusion $P(E\cup F)\subset P(E)\cup P(F)$ vient de la question précédente, et de l'exemple simple que tu as donné.
F.
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