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convergence

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Equation différentielle de Lagrange

Bonsoir,

est ce que vous pouvez m'expliquer la méthode de résolution d'une équation de Lagrange

Elle est de la forme

$$ y(t)=t f(y'(t))+g(y'(t))$$

1) la premiére chose est de dériver l'équation on obtient alors: $$y'(t)=f(y'(t))+ t y''(t) f'(y'(t))+y''(t) g'(y'(t))$$

2) On considère le changement de fonction: $$u(t)=y'(t) \Longleftrightarrow u'(t)=y''(t)$$

on obtient alors $$u(t)=f(u(t))+tu'(t)f(u(t))+u'(t)g'(u(t))$$

je ne comprends pas comment on arrive a cette écriture : $t(u)$

comment la variable $t$ devient une fonction de $u$ ?

http://uel.unisciel.fr/physique/outils_ … 09_08.html

Merci

Fred

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Re : Equation différentielle de Lagrange

Hello,

  Moi, je n'y ai jamais rien compris avec ces notations à la physicienne pour résoudre une équa diff. Je vais te dire comment je le comprends "version maths". Tu poses encore $x=u(t)$. En supposant que $u$ est une bijection, ceci est encore équivalent à $t=u^{-1}(x)$. Je vais noter, pour simplifier, $v=u^{-1}$.
La formule de la dérivée d'une fonction composée te donne $v'(x)=\frac{1}{u'(v(x))}$ c'est-à-dire encore que $u'(t)=\frac{1}{v(x)}$ (toujours si on a la relation $x=u(t)\iff v(x)=t$). Ton équation différentielle devient alors
$$x=f(x)+\frac{v(x)}{v'(x)}f'(x)+\frac1{v'(x)}g'(x)\iff v'(x)\left(f(x)-x\right)+v(x)f'(x)=-g'(x).$$

A ce moment là, tu as une équation différentielle linéaire du premier ordre en $v$, que tu peux espérer résoudre....

F.

convergence

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Re : Equation différentielle de Lagrange

Merci pour votre réponse, s'il vous plait sous quel condition $u=y'$ est une bijection ?

Fred

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Re : Equation différentielle de Lagrange

Si $y'$ est monotone...par exemple si on cherche les solutions telles que y'' ne s'annule pas.

convergence

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Re : Equation différentielle de Lagrange

Donc l’énoncé tel qu'il est donné est incomplet ? Merci

Fred

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Re : Equation différentielle de Lagrange

A vrai dire, dans le lien que tu as donné, je ne vois pas vraiment d' "énoncé".
Ce qui est sûr c'est qu'avec la méthode que je t'ai proposé, pour être rigoureux, il faut au moins supposer $y$ de classe $C^2$ et qui ne s'annule pas...