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#1 30-11-2017 11:24:32

vivigram
Invité

derivation d'une integrale a parametre

Salut, pouvez vous svp m'aider :
Soit $(E,\mathcal{A},\mu)$ un espace mesurable.
Soit f une fonction definie sur $E\times I$ où I est un intervalle de $\mathbb{R}$, et soit $g(x)=\int_{E}{f(x,t)d \mu (t)}$
alors pour etudier la derivabilite de g, des ouvrages precisent que I doit etre un ouvert de $\mathbb{R}$ et des autres disent tout simplement I doit etre un intervalle de $\mathbb{R}$.
Est-ce qu'il y a une difference entre les deux hypotheses? (car dans la preuve du theoreme de derivabilite sous le signe d'integrale on utilise pas le fait que I est un ouvert, il peut etre un fermé par exemple)
Si quelqu'un pouvez m'expliquer cette ambiguïté.

merci d'avance

#2 30-11-2017 13:02:43

Yassine
Membre
Inscription : 09-04-2013
Messages : 988

Re : derivation d'une integrale a parametre

Bonjour,
Tu peux poster la démonstration  (ou un lien vers celle-ci) qui n'utilise pas le fait que $I$ est un ouvert ?
D'autre part, il me semble que l'ensemble de départ de $f$ est plutôt $I \times E$ ?


L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel

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#3 05-12-2017 06:43:10

vivgram
Invité

Re : derivation d'une integrale a parametre

Salut, oui l'ensemble de depart $I \times E$

Pour la preuve, voici le lien (page 61)
preuve

#4 05-12-2017 08:18:03

Yassine
Membre
Inscription : 09-04-2013
Messages : 988

Re : derivation d'une integrale a parametre

La définition de la continuité de $f$ en un point $t_0 \in I$ nécessite que $I$ contienne au moins un ouvert contenant $t_0$. Si $I=[0,0]=\{0\}$ (qui est un intervalle fermé), il est difficile de parler de la continuité de $f$ en $0$ !

Disons que si $I$ est un intervalle fermé de type $[a,b]$ avec $a<b$, il est tout à fait possible de mener le raisonnement en dehors des bornes et montrer la continuité et dérivabilité à droite (resp. à gauche) en $a$ (resp. $b$).

Si $I$ n'est pas un intervalle, l'hypothèse d'ouverture est indispensable. Voir par exemple quand il dit :
Soit $t \in I$ et $(s_n)$ une suite de $I$ convergeant vers $t$ telle que $s_n \neq t$ pour tout $n$

L'existence de cette suite est garantie car $I$ est un ouvert.


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#5 09-12-2017 16:49:29

vivigram
Invité

Re : derivation d'une integrale a parametre

Bonjour, je peux deduire qu'on fait l'etude sur l'intervalle ouvert puis aux bornes de l'intervalle.

Est ce qu'il un corollaire (du theoreme ci-dessus) qui nous permet de travailler sur les compacts de l'intervalle I?

le corollaire est-il le suivant?

1) pour tout $x \in I,f(x,.)$ est mesurable et $\mu-integrable$
2) Pour $\mu-presque \ tout \ t \in E,x \rightarrow f(x,t)$ est derivable sur I.
3) Pour tout compact K inclu dans I $(K=[a,b]\subset I)$, il existe une fonction $h_K$ mesurable, positive et $\mu-integrable$ tel que pour
    tout $x \in K,$ pour $\mu-presque$ tout $t \in E, \left|f(x,t) \right|\leq h_K(t)$

alors g est derivable sur I. 

et que devient l'enoncé pour les derivées d'ordre superieurs respectivement sur I et sur les compacts K de I?

merci

#6 10-12-2017 08:17:09

Yassine
Membre
Inscription : 09-04-2013
Messages : 988

Re : derivation d'une integrale a parametre

Bonjour,
La notion de de dérivabilité est une notion "ponctuelle" (comportement de la fonction au voisinage d'un point).
Quand on dit que $g$ est dérivable sur $I$, c'est un raccourci pour dire $\forall x \in I, g$ est dérivable en $x$.

Donc, si tu as les propriétés que tu énonces, tu pars d'un $x \in I$, tu as un intervalle $]x-\epsilon,x+\epsilon[ \subset I$ ($I$ est un ouvert) et pour $0<\epsilon'<\epsilon$, tu as le compact $[x-\epsilon',x+\epsilon']$ où tu peux appliquer tes propriétés et en conclure que $g$ est dérivable en $x$

Pour les dérivée d'ordre supérieur, il faut à nouveau examiner le comportement de $g'$ (qui dépendra de la dérivée partielle de $f$).


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