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#1 03-11-2017 10:00:21

bib
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dérivée d'un élément de D'

Bonjour,
soit $T$ une distribution. Comment on montre que $T'=0$ ssi $T$ est une constante? S'il vous plaît.
J'ai trouvé une preuve mais trop longue, il y en a une simple et rapide?

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#2 03-11-2017 10:09:13

Fred
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Re : dérivée d'un élément de D'

Bonjour

  Il y en a une dans un exercice de de cette feuille. Je ne pense pas qu'on puisse faire vraiment plus simple.

F

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#3 03-11-2017 11:24:49

bib
Membre
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Messages : 191

Re : dérivée d'un élément de D'

Merci c'est bien celle que j'avais. S'il vous plaît, comment prouver le lemme utilisé dans la preuve? Le lemme dit ceci: soit $u \in \mathcal{D}(I)$. Il existe $v \in \mathcal{D}(I)$ tel que $v'=u$ si et seulement si $\displaystyle\int_{\mathbb{R}} u=0$. Dans ces cas, $v$ est unique.
Merci par avance pour votre aide.

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#4 03-11-2017 16:11:51

Fred
Administrateur
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Re : dérivée d'un élément de D'

Et si plutôt tu essayais de démontrer ce lemme? Ce n'est pas si dur, et cela ressemble beaucoup à d'autres résultats pour lesquels tu t'es fait aidé ici...

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#5 03-11-2017 18:10:30

bib
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Re : dérivée d'un élément de D'

D'accord. Alors on doit montrer l'équivalence suivante:
$$
(\exists v \in \mathcal{D}(]a,b[): v'=u) <=> (\displaystyle\int_a^b u(x) dx =0).
$$
On commence par montré l'implication dans le sens $=>$. On suppose qu'il existe $v \in \mathcal{D}(I)$ telle que $v'=u$. En intégrant les deux membres, on a $\displaystyle\int_a^b v'(x) dx = \displaystyle\int_a^b u(x) dx$ qui implique que $v(b)-v(a)= \displaystyle\int_a^b u(x) dx$. Comme $v \in \mathcal{D}(]a,b[)$, on a $v(a)=v(b)=0$ ainsi, $\displaystyle\int_a^b u(x) dx =0$.

On montre maintenant l'implication inverse $<=$: on suppose que $\displaystyle\int_a^b u(x) dx=0$ et on montre qu'il existe $v \in \mathcal{D}(I)$ telle que $v'=u$. Ce qui me pose difficulté c'est comment on procède pour montrer qu'un tel $v$ existe? S'il vous plaît.

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#6 03-11-2017 18:49:18

Fred
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Re : dérivée d'un élément de D'

En intégrant la relation $v'=u$ entre $a$ et $x$ bien sûr (après tout, $v'=u$ est une équation différentielle d'inconnue $v$, très simple bien entendu).

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#7 03-11-2017 19:22:45

bib
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Re : dérivée d'un élément de D'

OK! J'ai compris le truc. Donc on résout l'équation $v'=u$. $u$ est continue et le coefficient de $v'$ est la fonction continue $1$ donc $v$ existe. Reste à prouver que ce $v$ est bien une fonction teste. Pour ça on intègre les deux membres de l'équation, et en utilisant l'hypothèse on obtient que $v(b)-v(a)=0$ donc $v(b)=v(a)$. Mais comment est ce que $v(a)=v(b)$ implique que $v \in \mathcal{D}(I)$? S'il vous plaît.

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#8 03-11-2017 19:46:14

Fred
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Re : dérivée d'un élément de D'

Si tu poses directement $v(t)=\int_a^t u(x)dx$, je crois que c'est clair!

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#9 03-11-2017 19:59:07

bib
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Re : dérivée d'un élément de D'

Oui avec  ça on voit que $v(a)=0$ et par conséquent $v(b)=0$, mais comment on a l'idée de poser $v(t)=\displaystyle\int_a^t u(x) dx? D'où vient cette égalité? S'il vous plaît.

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#10 06-12-2017 19:44:34

bib
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Re : dérivée d'un élément de D'

Bonjour,
j'essaye de montrer que sur tout intervalle $I$ de $\mathbb{R}$,toute distribution sur $I$ admet une primitive.

En lisant la preuve du feuillet d'exo sur bibmaths, on lis ceci: si $T \in \mathcal{D}'(I)$ et $S$ une éventuelle primitive de $S$, on a
$$
\forall \varphi \in \mathcal{D}(I): <T,\varphi>= <S',\varphi>= - <S,\varphi>.
$$
Si toute fonction teste était la dérivée d'une fonction teste, alors ce serait parfait. Je veux comprendre pourquoi ça serait parfait?
Moi je comprend que ça serait parfait car, si toute fonction teste était la primitive d'une fonction teste, cela voudrait dire que pour tout $\varphi \in \mathcal{D}(I)$, il existe $\psi \in \mathcal{D}(I)$ telle que $\varphi= \psi'$. Donc on écrit
$$
<T,\varphi>= <T,\psi'>= - <T',\psi>.
$$
Le problème est: est ce qu'on a le droit d'écrire l'égalité $<T,\psi'>= - <T',\psi>$ sans savoir si $T'$ existe? S'il vous plaît.

Dernière modification par bib (06-12-2017 19:55:06)

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#11 06-12-2017 20:29:27

Fred
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Re : dérivée d'un élément de D'

Je ne comprends pas. La dérivée d'une distribution existe toujours, et la formule $\langle T',\psi\rangle=-\langle T,\psi'\rangle$ est justement sa définition

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#12 06-12-2017 21:20:33

bib
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Re : dérivée d'un élément de D'

Il s'agit de l'exercice 5 de la feuille http://www.bibmath.net/ressources/index … &type=fexo

où la question est justement de prouver que la dérivée d'une distribution existe toujours. Il y a une phrase dans la solution que je n'ai pas bien compris, c'est que si toute fonction teste était la dérivée d'une fonction teste, ça serait parfait pour conclure.

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#13 06-12-2017 21:30:05

Fred
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Re : dérivée d'un élément de D'

Je ne comprends toujours pas. Dans cet exercice, on ne veut pas démontrer que la dérivée d'une distribution existe toujours. On veut démontrer que toute distribution admet une primitive!!!!

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#14 06-12-2017 21:47:11

bib
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Re : dérivée d'un élément de D'

Oui, mais pourquoi ça serait parfait si toute fonction teste était la dérivée d'une autre fonction teste? En quoi cela aurait pu nous aider à conclure directement l'existence de $S$?

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#15 06-12-2017 22:21:05

Fred
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Messages : 4 762

Re : dérivée d'un élément de D'

Pour que $S$ soit une primitive de $T$, on doit nécessairement avoir $\langle S,\phi'\rangle=-\langle T,\phi\rangle$. Si toute fonction test était la dérivée d'une fonction test, ie si pour toute fonction test $\psi$ je pouvais trouver $\phi$ telle que $\psi=\phi'$ , alors je poserai $\langle S,\psi\rangle=-\langle T,\phi\rangle$ et j'aurais fini...

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