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#1 04-12-2017 13:12:32

seif
Membre
Inscription : 04-12-2017
Messages : 8

Suites dans Rn

Bonjour,

La topologie c’est nouveau pour moi, j’aimerais bien que vous m’aidiez pour résoudre cet exercice.
Je vous remercie d’avance.

Soient  [tex]a\ge 0[/tex]  et  [tex]b\ge 0[/tex], [tex]{{\left( {{x}_{k}} \right)}_{k}}[/tex] et [tex]{{\left( {{y}_{k}} \right)}_{k}}[/tex] deux suites dans [tex]{{\mathbb{R}}^{n}}[/tex] tels que :

[tex]\underset{k\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\parallel {{x}_{k}}-{{y}_{k}}\parallel =a[/tex]
[tex]\underset{k\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\parallel {{x}_{k}}+{{y}_{k}}\parallel =b[/tex]

Pour quelles valeurs a et b, peut-on déduire qu’il existe des limites pour :

[tex]\underset{k\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\parallel {{x}_{k}}\parallel[/tex]  et  [tex]\underset{k\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\parallel {{y}_{k}}\parallel[/tex]

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#2 04-12-2017 17:05:55

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 754

Re : Suites dans Rn

Bonsoir,

  Si $a=0$ et $b=0$, alors c'est vrai... je te laisse le démontrer à l'aide de l'inégalité triangulaire.

Si $a\neq 0$ ou $b\neq 0$, alors je crois que ce n'est pas vrai. Pour cela, je commencerais par traiter le cas $n=1$ et par trouver deux réels
$x_0$ et $y_0$ tels que $x_0-y_0=a$ et $x_0+y_0=b$. Et ensuite je poserais $x_n=x_0$ si $n$ est pair, $x_n=y_0$ si $n$ est impair....

F.

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#3 05-12-2017 20:12:42

seif
Membre
Inscription : 04-12-2017
Messages : 8

Re : Suites dans Rn

pour a=0 et b=0

[tex]\forall \varepsilon >0\text{  }\exists \text{ }N\in \mathbb{N}[/tex]  tel que  [tex]k\ge 0\text{ }\Rightarrow \text{ }\parallel {{x}_{k}}-{{y}_{k}}\parallel <\varepsilon[/tex]

[tex]\forall \varepsilon >0\text{  }\exists \text{ }N\in \mathbb{N}[/tex]  tel que  [tex]k\ge 0\text{ }\Rightarrow \text{ }\parallel {{x}_{k}}+{{y}_{k}}\parallel <\varepsilon[/tex]

Avec l'inégalité triangulaire : [tex]2\parallel {{x}_{k}}\parallel \le \parallel {{x}_{k}}-{{y}_{k}}\parallel +\parallel {{x}_{k}}+{{y}_{k}}\parallel \le 2\varepsilon [/tex]

Alors : [tex]\underset{k\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\parallel {{x}_{k}}\parallel =0[/tex]

C’est bon comme cela ? moi je ne suis pas sûr.

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#4 05-12-2017 21:04:19

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 754

Re : Suites dans Rn

Oui, c'est bon mais tu pouvais simplement partir de
[tex]0\leq 2\parallel {{x}_{k}}\parallel \le \parallel {{x}_{k}}-{{y}_{k}}\parallel +\parallel {{x}_{k}}+{{y}_{k}}\parallel  [/tex]
et utiliser le théorème des gendarmes pour conclure que $(\|x_k\|)$ tend vers 0.

F.

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#5 05-12-2017 21:40:39

seif
Membre
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Re : Suites dans Rn

oui c'est bon aussi avec le théorème de gendarmes.

Avec l’inégalité triangulaire renversée je trouve :

[tex]2\parallel {{y}_{k}}\parallel \ge \left| \parallel {{x}_{k}}+{{y}_{k}}\parallel -\parallel {{x}_{k}}-{{y}_{k}}\parallel  \right|[/tex]

Comment peut-on déduire la limite de  [tex]\left( \parallel {{y}_{n}}\parallel  \right)[/tex] ?

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#6 06-12-2017 18:08:10

seif
Membre
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Re : Suites dans Rn

Bonjour,

Je pense que j’ai trouvé :

[tex]\parallel {{x}_{k}}-{{y}_{k}}{{\parallel }^{2}}+\parallel {{x}_{k}}+{{y}_{k}}{{\parallel }^{2}}=2\left( \parallel {{x}_{k}}{{\parallel }^{2}}+\parallel {{y}_{k}}{{\parallel }^{2}} \right)[/tex]

comme  [tex]\left( \parallel {{x}_{k}}\parallel  \right)[/tex] tend vers [tex]0[/tex] on peut donc conclure que [tex]\left( \parallel {{y}_{k}}\parallel  \right)[/tex]  tend aussi vers  [tex]0[/tex]

Concernant les cas [tex]a\ne 0[/tex] et [tex]b\ne 0[/tex] je n’ai pas bien compris, cela ne te dérange pas si tu m’expliques encore mieux ?

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#7 06-12-2017 21:33:46

Fred
Administrateur
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Re : Suites dans Rn

Re-

  Tu pouvais aussi faire par l'inégalité triangulaire pour $y_k$, en utilisant que $2y_k=(y_k-x_k)+(y_k+x_k)$.

Si $a\neq 0$ ou $b\neq 0$ (et $n=1$), pose $c=(b+a)/2$ et $d=(b-a)/2$. Alors $c+d=b$ et $c-d=a$. Considère ensuite les suites $(x_n)$
définies par $x_{2n}=c$, $x_{2n+1}=d$, $y_{2n}=d$, $y_{2n+1}=c$. Que peux tu dire que $\|x_k-y_k\|?$de $\|x_k+y_k\|$?
Est ce que la suite $\|x_n\|$ converge?

F.

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#8 09-12-2017 17:12:46

seif
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Re : Suites dans Rn

Bonjour,

Je vois que tu souhaites utiliser Bolzano-Weierstrass, mais je n’ai pas compris, tu choisis n=1 pour la dimension et en même temps tu choisis n pour les suites extraites, est-ce que n=1 aussi pour les suites extraites ? et pourquoi les suites extraites sont-elles constantes ?

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#9 09-12-2017 18:33:29

seif
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Re : Suites dans Rn

Pourquoi travaille-t-on d’abord sur une seule dimension ?

C’est parce qu’on ne peut pas extraire des suites dans [tex]{{\mathbb{R}}^{n}}[/tex] ?

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#10 09-12-2017 19:44:04

seif
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Re : Suites dans Rn

On choisit les suites extraites constantes pour satisfaire ceci :

[tex]\parallel {{x}_{k}}-{{y}_{k}}\parallel =\parallel {{x}_{2n}}-{{y}_{2n}}\parallel =\parallel {{x}_{2n}}-{{x}_{2n+1}}\parallel =\parallel {{y}_{2n+1}}-{{y}_{2n}}\parallel =\left| c-d \right|=a[/tex]

[tex]\parallel {{x}_{k}}+{{y}_{k}}\parallel =\parallel {{x}_{2n}}+{{y}_{2n}}\parallel =\parallel {{x}_{2n}}+{{x}_{2n+1}}\parallel =\parallel {{y}_{2n+1}}+{{y}_{2n}}\parallel =\left| c+d \right|=b[/tex]

?

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#11 10-12-2017 20:09:10

Fred
Administrateur
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Messages : 4 754

Re : Suites dans Rn

Bonjour,

  Non, je n'ai aucune envie d'utiliser le théorème de Bolzano-Weierstras. Je choisis juste deux suites, et pour montrer que $(\|x_k\|)$ ne converge pas, je prouve que $(\|x_{2k+1}\|)$ et $(\|x_{2k}\|)$ convergent vers une limite différente.
J'ai proposé de faire d'abord l'exemple en dimension 1 pour que ce soit plus facile à écrire, mais on peut l'écrire en dimension quelconque, en définissant la première coordonnée comme je l'ai fait, et en prenant toutes les autres coordonnées égale à 0.

F.

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#12 10-12-2017 20:44:36

seif
Membre
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Messages : 8

Re : Suites dans Rn

Peut-on choisir des suites extraites constantes ?
On les choisit pour satisfaire les données qu’on a ?

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#13 Hier 05:44:25

Fred
Administrateur
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Messages : 4 754

Re : Suites dans Rn

Pourquoi on ne pourrait pas ?

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