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#1 05-12-2017 01:23:51

YousAk
Membre
Inscription : 10-11-2017
Messages : 5

Espace presque métrique

Bonsoir ,
Un espace ''presque  métrique'' est un ensemble non vide muni d'une appication :$d:X\times X\rightarrow R^+$ tels que pour tout $x,y,z$ :

$$ 1)\,d(x,y)=0\rightarrow x=y$$

$$ 2)\,d(x,y)=d(y,x)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$$

$$ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,3)\,d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$$


On définit aussi la boule ouverte par:
$$B(x,\varepsilon)=\{x\in X:|d(x,y)-d(x,x)|<\varepsilon\}$$
J'ai trouvé dans un papier que l'ensemble des boules ouvertes formment une base pour la topologie induite par $d$.Comment on peut montrer ce résultat .Merci

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#2 05-12-2017 06:42:28

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 754

Re : Espace presque métrique

Bonjour

  Quelle est la topologie induite par une presque distance ?

F

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#3 05-12-2017 17:37:55

YousAk
Membre
Inscription : 10-11-2017
Messages : 5

Re : Espace presque métrique

Bonsoir,
Autrement j'aimerais montrer que l'intersection de deux boules est encore une boule.

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#4 06-12-2017 08:25:23

Yassine
Membre
Inscription : 09-04-2013
Messages : 987

Re : Espace presque métrique

Bonjour,
Je ne pense pas que cette propriété soit vraie.
Sur $\mathbb{R}^2$ avec sa topologie usuelle (sa distance est en particulier une presque distance), l'intersection de deux disques est rarement un disque.
Pour montrer qu'une pré-base est une base, il faut montrer que l'intersection de deux éléments en contient un troisième.
Dans ton cas, l'intersection de deux boules en contient une troisième.

Une piste (que j'ai commencé à regarder sans aboutir, faute de temps et d'intérêt) :
Prendre $x \in B(a,\alpha) \cap B(b,\beta)$ et essayer de construire un $\epsilon$ tel que $B(x,\epsilon) \subset B(a,\alpha) \cap B(b,\beta)$ en utilisant l'inégalité triangulaire.
J'ai essayé $\epsilon = \dfrac{1}{2}\min\left[a - (d(x,a)-d(a,a)), b - (d(x,b)-d(b,b))\right]$ sans succès.


L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel

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#5 06-12-2017 12:21:39

YousAk
Membre
Inscription : 10-11-2017
Messages : 5

Re : Espace presque métrique

Bojour ,
Merci Yassine ,J'ai déja pris un $\varepsilon=\min[\alpha-|d(x,a)-d(a,a)|,\beta-|d(x,b)-d(b,b)|]$ sans succès.

Dernière modification par YousAk (06-12-2017 12:23:17)

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