Bibm@th

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bienvenue dans les forums du site BibM@th, des forums où on dit Bonjour (Bonsoir), Merci, S'il vous plaît...

Vous n'êtes pas identifié(e).

#1 05-12-2017 02:23:51

YousAk
Membre
Inscription : 10-11-2017
Messages : 5

Espace presque métrique

Bonsoir ,
Un espace ''presque  métrique'' est un ensemble non vide muni d'une appication :$d:X\times X\rightarrow R^+$ tels que pour tout $x,y,z$ :

$$ 1)\,d(x,y)=0\rightarrow x=y$$

$$ 2)\,d(x,y)=d(y,x)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$$

$$ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,3)\,d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$$


On définit aussi la boule ouverte par:
$$B(x,\varepsilon)=\{x\in X:|d(x,y)-d(x,x)|<\varepsilon\}$$
J'ai trouvé dans un papier que l'ensemble des boules ouvertes formment une base pour la topologie induite par $d$.Comment on peut montrer ce résultat .Merci

Hors ligne

#2 05-12-2017 07:42:28

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : Espace presque métrique

Bonjour

  Quelle est la topologie induite par une presque distance ?

F

Hors ligne

#3 05-12-2017 18:37:55

YousAk
Membre
Inscription : 10-11-2017
Messages : 5

Re : Espace presque métrique

Bonsoir,
Autrement j'aimerais montrer que l'intersection de deux boules est encore une boule.

Hors ligne

#4 06-12-2017 09:25:23

Yassine
Membre
Inscription : 09-04-2013
Messages : 1 090

Re : Espace presque métrique

Bonjour,
Je ne pense pas que cette propriété soit vraie.
Sur $\mathbb{R}^2$ avec sa topologie usuelle (sa distance est en particulier une presque distance), l'intersection de deux disques est rarement un disque.
Pour montrer qu'une pré-base est une base, il faut montrer que l'intersection de deux éléments en contient un troisième.
Dans ton cas, l'intersection de deux boules en contient une troisième.

Une piste (que j'ai commencé à regarder sans aboutir, faute de temps et d'intérêt) :
Prendre $x \in B(a,\alpha) \cap B(b,\beta)$ et essayer de construire un $\epsilon$ tel que $B(x,\epsilon) \subset B(a,\alpha) \cap B(b,\beta)$ en utilisant l'inégalité triangulaire.
J'ai essayé $\epsilon = \dfrac{1}{2}\min\left[a - (d(x,a)-d(a,a)), b - (d(x,b)-d(b,b))\right]$ sans succès.


L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel

Hors ligne

#5 06-12-2017 13:21:39

YousAk
Membre
Inscription : 10-11-2017
Messages : 5

Re : Espace presque métrique

Bojour ,
Merci Yassine ,J'ai déja pris un $\varepsilon=\min[\alpha-|d(x,a)-d(a,a)|,\beta-|d(x,b)-d(b,b)|]$ sans succès.

Dernière modification par YousAk (06-12-2017 13:23:17)

Hors ligne

Réponse rapide

Veuillez composer votre message et l'envoyer
Nom (obligatoire)

E-mail (obligatoire)

Message (obligatoire)

Programme anti-spam : Afin de lutter contre le spam, nous vous demandons de bien vouloir répondre à la question suivante. Après inscription sur le site, vous n'aurez plus à répondre à ces questions.

Quel est le résultat de l'opération suivante (donner le résultat en chiffres)?
soixante six moins vingt trois
Système anti-bot

Faites glisser le curseur de gauche à droite pour activer le bouton de confirmation.

Attention : Vous devez activer Javascript dans votre navigateur pour utiliser le système anti-bot.

Pied de page des forums