Forum de mathématiques - Bibm@th.net
Vous n'êtes pas identifié(e).
- Contributions : Récentes | Sans réponse
Pages : 1
#1 05-12-2017 02:23:51
- YousAk
- Membre
- Inscription : 10-11-2017
- Messages : 5
Espace presque métrique
Bonsoir ,
Un espace ''presque métrique'' est un ensemble non vide muni d'une appication :$d:X\times X\rightarrow R^+$ tels que pour tout $x,y,z$ :
$$ 1)\,d(x,y)=0\rightarrow x=y$$
$$ 2)\,d(x,y)=d(y,x)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$$
$$ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,3)\,d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$$
On définit aussi la boule ouverte par:
$$B(x,\varepsilon)=\{x\in X:|d(x,y)-d(x,x)|<\varepsilon\}$$
J'ai trouvé dans un papier que l'ensemble des boules ouvertes formment une base pour la topologie induite par $d$.Comment on peut montrer ce résultat .Merci
Hors ligne
#4 06-12-2017 09:25:23
- Yassine
- Membre
- Inscription : 09-04-2013
- Messages : 1 090
Re : Espace presque métrique
Bonjour,
Je ne pense pas que cette propriété soit vraie.
Sur $\mathbb{R}^2$ avec sa topologie usuelle (sa distance est en particulier une presque distance), l'intersection de deux disques est rarement un disque.
Pour montrer qu'une pré-base est une base, il faut montrer que l'intersection de deux éléments en contient un troisième.
Dans ton cas, l'intersection de deux boules en contient une troisième.
Une piste (que j'ai commencé à regarder sans aboutir, faute de temps et d'intérêt) :
Prendre $x \in B(a,\alpha) \cap B(b,\beta)$ et essayer de construire un $\epsilon$ tel que $B(x,\epsilon) \subset B(a,\alpha) \cap B(b,\beta)$ en utilisant l'inégalité triangulaire.
J'ai essayé $\epsilon = \dfrac{1}{2}\min\left[a - (d(x,a)-d(a,a)), b - (d(x,b)-d(b,b))\right]$ sans succès.
L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel
Hors ligne
Pages : 1