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#1 01-12-2017 21:40:06

convergence
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Existence et unicité de solution pour un système d'équa-diff

Bonsoir,

S'il vous plait ou est ce que je peux trouver la démonstration de ce théorème

Considérons le problème, pour $t\in I$ $$\begin{cases} X'(t)=A(t)X(t)+F(t)\\ X(t_0)=X^0\end{cases}$$
si $A:I\to\mathcal{M}(\mathbb{R})$ et $F: I\to\mathbb{R}^n$ sont continues, autrement dit $tt\to a_{ij}(t)$ est continue pour tous $i,j=1,...,n,$ et $t\to f_i(t)$ est continue pour tout $i=1,...,n,$ alors pour tout $t_0\in I$ et pour tout $X^0\in \mathbb{R}^n,$ il existe une solution unique au probleme de Cauchy.

Est ce que la continuité suffit pour l'unicité ?

Merci beaucoup

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#2 02-12-2017 06:57:39

Roro
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Re : Existence et unicité de solution pour un système d'équa-diff

Bonjour convergence,

Non, le théorème de Cauchy-Lipschitz qui affirme qu'il existe une unique solution à $y'=f(t,y)$, $y(t_0)=y_0$ n'est pas vrai si tu as seulement la continuité de $f$...
Mais ici tu as plus que la continuité !
Relis bien les hypothèses du théorème de Cauchy-Lipschitz et ne confonds pas la variable temps et la "variable" y dans les systèmes de la forme $y'=f(t,y)$.

Roro.

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#3 02-12-2017 11:17:18

convergence
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Re : Existence et unicité de solution pour un système d'équa-diff

Je ne comprend pas on a $t\to f_i(t)$ est continue pour chaque $i$, dans le théorème de Cauchy lipschitz il est $f$ de classe C^1

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#4 02-12-2017 11:28:02

Roro
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Re : Existence et unicité de solution pour un système d'équa-diff

Re-bonjour,

Quel théorème de Cauchy-Lipschitz utilises-tu ?
Le plus "classique" est celui qui affirme que
"si la fonction f de deux variables $(t,y)$ est continue et localement lipschitzienne par rapport à la seconde variable alors le problème de Cauchy associé admet une unique solution."
Le cas où $f$ est de classe $\mathcal C^1$ en est une conséquence. Dans ton cas, ta fonction n'est pas de classe $\mathcal C^1$ mais elle est continue, et de classe $\mathcal C^\infty$ par rapport à $y$, ce qui est suffisant pour appliquer le théorème de Cauchy-Lipschitz...

Roro.

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#5 02-12-2017 17:24:15

convergence
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Re : Existence et unicité de solution pour un système d'équa-diff

Vous dites que $F$ est de classe $C^{\infty}$ par rapport à $X$ parce qu'il ne dépend pas de $X$ ?

Où est ce  que je peux trouver la démonstration svp ?

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#6 03-12-2017 08:30:49

Roro
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Re : Existence et unicité de solution pour un système d'équa-diff

Bonjour,

La démonstration de quoi ???
Je n'ai jamais évoqué de fonction $F$ qui ne dépendait pas de $X$...
Essaye d'écrire correctement ton équation sous la forme $y'(t) = f(t,y(t))$ en précisant qui est l'application $f$.

Roro.

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#7 03-12-2017 12:34:38

convergence
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Re : Existence et unicité de solution pour un système d'équa-diff

on  a ici x à la place des y

x'_1(t)= a_{11} x_1(t)+a_{12} x_2(t)+f_1(t)

on juste que f est continue, f ici ne dépent que de t , je ne comprends pas d’où vient  C^{\infty}

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#8 03-12-2017 15:29:05

Roro
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Re : Existence et unicité de solution pour un système d'équa-diff

Pour que tu comprennes bien ce qui se passe, il faudrait que tu écrives précisément ce qu'est la fonction $f$ dans ton cas !
$f: E \mapsto F$ avec $f(?) = ?$
Qui est E ? F ?...

Roro.

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#9 03-12-2017 21:16:27

convergence
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Re : Existence et unicité de solution pour un système d'équa-diff

ici on a un système chaque $f:I\to \mathbb{R}$

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#10 03-12-2017 22:07:05

Roro
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Re : Existence et unicité de solution pour un système d'équa-diff

Bonsoir convergence,

Je ne crois pas que tu aies vraiment compris ce que je voulais : si tu veux appliquer le théorème de Cauchy-Lipschitz, tu dois écrire ton équation sous la forme $y'(t) = f(t,y(t))$. Et pour l'instant je ne vois toujours pas comment tu fais !!!

Par exemple, l'équation $y'(t)=2y(t)+\sin(y(t)+1+t)$ est de cette forme avec $f:\mathbb R^2 \mapsto \mathbb R$ et $f(t,y) = 2y+\sin(y+1+t)$.
Lorsque tu as un système comme c'est ton cas, ta fonction $f$ sera définie sur $\mathbb R^{1+N}$ où $N$ est le nombre d'équations...

Roro.

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