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#1 24-11-2017 07:41:33

convergence
Membre
Inscription : 16-12-2015
Messages : 115

Equation différentiel autonome

Bonjour,

J'ai cette proposition:

Soit $f:I\to\mathbb{R}$ une fonction continue sur l'intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ , alors toute solution non constante de $y'=f(y)$ est strictement monotone.

Pour la démonstration je procède par l'absurde:

Soit $u(t)$ une solution non constante et non monotone, c'est a dire qu'il existe $t_0\in I$ tel que $u'(t_0)=0.$ Posons $y_0=u(t_0)$ on a $f(y_0)=0$ ce qui veut dire $y_0$ est solution de l'équation

je n'arrive pas à conclure, car $u$ constante veut dire que $\forall t\in I, u(t)=cst$ donc non constante veut dire $\exists t\in I, u(t)\neq cst$

Comment faire s'il vous plait ?

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#2 24-11-2017 08:43:00

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 750

Re : Equation différentiel autonome

Bonjour,

  Je pense que le résultat est faux si on suppose seulement $f$ continue, et qu'il faut supposer quelque chose de plus fort sur $f$, par exemple que $f$ est de classe $\mathcal C^1$. Dans ce cas, on peut utiliser le théorème de Cauchy-Lipschitz et l'unicité de la solution.
Ton raisonnement se termine alors comme suit : si $u'(t_0)=0$, et si tu notes $u(t_0)=y_0$, alors la fonction $u$ est solution du problème de Cauchy $y'=f(y)$, $y(t_0)=y_0$. Maintenant, la fonction $v$ identiquement égale à $y_0$ est aussi solution de ce même problème de Cauchy. Par unicité des solutions, on a $u=v$ et donc $u$ est constante.

Pour voir que le résultat est faux si on ne suppose que $f$ continue, tu peux consulter cette page sur le théorème de Cauchy-Arzela-Peano.

F.

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#3 24-11-2017 09:25:57

convergence
Membre
Inscription : 16-12-2015
Messages : 115

Re : Equation différentiel autonome

Merci beaucoup, la version juste est $f$ de classe C^1 par exemple

j'ai trouvé cette page mais ce n'ai pas mentionné : http://uel.unisciel.fr/mathematiques/eq … h3_02.html

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