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#1 23-11-2017 17:52:52

Sylvieg
Membre
Inscription : 23-11-2017
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Article sur les deux infinis égaux démontrés il y a quelques mois.

Bonjour,
Désolée, c’est un peu long…
Un de mes anciens collègues m'’a alerté sur cet article :  http://www.slate.fr/story/151703/mathem … inis-egaux
Son titre : Deux mathématiciens viennent de prouver que deux infinis étaient égaux, et c'est une révolution.

Au départ, il y était affirmé que les deux cardinaux dont l'’égalité avait été démontrée étaient celui de N et celui de R . C'était un peu gros...
Il y a eu une correction depuis, accompagnée d’'un commentaire à la fin invoquant l'’ambiguïté de l’'article de Quanta Magazine. Ce qui est faux, aucune ambiguïté pouvant suggérer une telle énormité n'y figure.

Le problème est qu'’il reste dans l'’article d'’autres erreurs à peine moins énormes :

« L'une des différences majeures entre les deux ensembles, c'est que si N est un ensemble dit dénombrable (on peut en lister les éléments, même si cette liste serait certes infinie), ce n'est pas le cas de R, comme le prouva le mathématicien allemand Georg Cantor à la fin du XIXè siècle. Pour le dire plus trivialement, on ne peut pas lister les éléments de R: il y en a "trop". C'est un ensemble continu, c'est-à-dire qu'il n'y a pas un nombre, puis le suivant: on peut toujours en trouver un qui se trouve compris entre les deux. »

« En effet, on savait jusque là que le cardinal de N était strictement plus petit que p, lui-même inférieur (ou égal) à t, le tout étant strictement plus petit que le cardinal de R. »
C'est moi qui souligne les "strictement".

Par ailleurs, l’'article en anglais de Quanta Magazine, celui dont Slate s'’est inspiré, est intéressant. A noter que le résultat sur les infinis est évoqué avec une remarquable concision dans Wikipédia :  https://fr.wikipedia.org/wiki/Maryanthe_Malliaris
Mon collègue a envoyé un message critique au site Slate il y a quelques semaines. Sans effet.
Peut-il y avoir d’'autres réactions ?
On sait que ce qui parait sur Internet est à prendre avec des pincettes, et ceci dans tous les domaines.
Mais laisser ces énormités risque de faire croire que n’importe qui peut pondre, sans garde fou, un texte scientifique dans un domaine un peu pointu.

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#2 23-11-2017 18:19:04

Yassine
Membre
Inscription : 09-04-2013
Messages : 1 090

Re : Article sur les deux infinis égaux démontrés il y a quelques mois.

Bonsoir,
Il y a un fil sur un site de math qui traite de cette publication.
Ce qui est sûr, c'est que vulgariser ce type de sujets est très difficile.
Par exemple, le fait de dire que "il y en a "trop". C'est un ensemble continu, c'est-à-dire qu'il n'y a pas un nombre, puis le suivant: on peut toujours en trouver un qui se trouve compris entre les deux" pour caractériser $\mathbb{R}$ est un peu faux, dans $\mathbb{Q}$ non plus il n'y pas de notion de suivant, pire, entre deux réels distincts il y a toujours une infinité de rationnels !

Dernière modification par Yassine (23-11-2017 18:19:18)


L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel

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#3 12-06-2018 22:51:44

Larac2
Invité

Re : Article sur les deux infinis égaux démontrés il y a quelques mois.

Bonjour et amitiés,
excusez-moi, je suis nouveau et non-scientifique, mais ayant reçu l'article dont vous parlez je me suis amusé à chercher des sous-ensembles de R que l'on pouvait mettre en bijection avec N. J'en suis arrivé à copier les éléments de [0,1[ sur un axe, les classant par nombre de décimales "actives" pour créer des sous-groupes nommés par ce nombre de décimales. la bijection entre N et ces sous-groupes est très simple, mais surprise la bijection entre tous les nombres de [0,1[ ainsi exprimés et N devient possible. A partir de cette idée on peut facilement créer d'autres suites avec les nombres de [0,1[ directement à partir  de N.

  D’après ce que je sais si [0,1[ est dénombrable et équivalent à N    R l'est aussi, ainsi que les transcendants éléments de R.

  Notons que Cantor a démontré que les nombres rationnels et les nombres algébriques, parties de R, étaient aussi dénombrables

   Si les nombres à écriture décimale finie ou infinie, cyclique ou non représentent bien R, alors mes propositions semblent tenir la route; c'est d'ailleurs en travaillant sur cette écriture que Cantor a fait sa démonstration de l'innombrabilité de R.

      Notons que Cantor a démontré que les nombres rationnels et les nombres algébriques parties de R étaient aussi dénombrables.

     Pour qui le veut je peux envoyer un résumé de mes travaux.

Merci à tout ceux qui ont pris la patience de me lire . Au plaisir d'avoir de vos commentaires, pas trop savants s'il vous plait.

#4 13-06-2018 06:44:55

LEG
Membre
Inscription : 19-09-2012
Messages : 286

Re : Article sur les deux infinis égaux démontrés il y a quelques mois.

@Sylvieg

Mais laisser ces énormités risque de faire croire que n’importe qui peut pondre, sans garde fou, un texte scientifique dans un domaine un peu pointu.

N'importe qui à le droit de s'exprimer...En quoi cela vous gène..Je ne vois pas pourquoi un domaine un peu pointu serait réservé à des soit disant scientifiques quelque soit leur compétence...Heureusement d'ailleurs...!

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#5 14-06-2018 08:38:42

Wiwaxia
Membre
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Inscription : 21-12-2017
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Re : Article sur les deux infinis égaux démontrés il y a quelques mois.

Bonjour,

LEG a écrit :

N'importe qui a le droit de s'exprimer ... En quoi cela vous gêne ... Je ne vois pas pourquoi un domaine un peu pointu serait réservé à des soit disant scientifiques quelque soit leur compétence ...

Ce n'est pas une affaire de droit, mais de compétence ... Avec un pareil argument, il faudrait rouvrir une rubrique consacrée à la quadrature du cercle, au mouvement perpétuel et autres lubies qui obsèdent une légion de monomaniaques; l'audience de ce site serait sans doute réactivée en quelques jours, mais sa réputation peut-être moins.

Et je ne vois pas pourquoi il serait à priori légitime de mépriser le savoir et l'érudition: à question posée, il est gratifiant de recevoir une réponse claire, argumentée, ouvrant éventuellement de nouveaux horizons - et j'en suis reconnaissant à l'interlocuteur.
L'intervention d'un farfelu convaincu d'avoir raison produit au mieux une perte de temps, quand il ne répand pas le trouble et la confusion.

Cela ne remet pas en cause l'expression de toute idée originale, même contestable, pour peu qu'elle se prête à un échange. L'intervention de Larac2 entre apparemment dans cette catégorie: on peut seulement lui demander quelques précisions sur ce qu'il entend exactement:
J'en suis arrivé à copier les éléments de [0,1[ sur un axe, les classant par nombre de décimales "actives" pour créer des sous-groupes nommés par ce nombre de décimales.
et par quel procédé il établit une correspondance terme à terme entre les entiers naturels et les réels de [0 ; 1].

Dernière modification par Wiwaxia (14-06-2018 08:43:56)

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#6 14-06-2018 09:40:43

yoshi
Modo Ferox
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Messages : 12 321

Re : Article sur les deux infinis égaux démontrés il y a quelques mois.

Bonjour,

Pour une approche en images de la non-dénombrabilité de [tex]\mathbb{R}[/tex] puis vous inciter à aller lire le Logotron, BD dee Jean-Pierre Petit p.17 à 25...
Ici : http://www.savoir-sans-frontieres.com/J … GOTRON.pdf
Ne commettez pas l'erreur - grossière - JP Petit pour un farfelu, il a un un CV que beaucoup lui envieraient : il a écrit beaucoup d'autres BD, toutes édifiantes. Je cite les premières :
Le Geometricon
Tout est relatif
Le Trou Noir
BigBang,
Mille milliards de soleils
Cosmic Story
Le mur du Silence
A quoi rêvent les robots ?
Le Topologicon
Si on volait
L'informagique
.....
Téléchargeables (librement) ici : http://www.savoir-sans-frontieres.com/J … m#francais

Je partage la position de Wiwaxia, même si je ne pense pas qu'il entrait dans les intentions de LEG d'afficher du mépris pour les Scientifiques...
Personnellement, au prétexte que j'aurais quelques idées originales sur un domaine, je ne me permettrais jamais de les présenter comme des vérités absolues :
- en Mathématiques : qu'en penseraient Cedric Villani and Co ? Je soumettrais d'abord un mémoire argumenté à quelques sommités en espérant qu'elles me lisent et me répondent...
- En médecine ???
- En Informatique ???
and so on...

Certes, la probabilité que se découvre un génie méconnu, self made man, n'est pas nulle, mais elle doit en être assez proche !

Je voudrais d'abord en ce qui concerne Larac2 qu'il précise sa notion de "décimales actives"...

@+


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#7 14-06-2018 15:05:00

Larac
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Re : Article sur les deux infinis égaux démontrés il y a quelques mois.

Bonjour, et merci pour votre attention
Oui, n'étant pas mathématicien, j'invente mon propre vocabulaire parfois, mais je vérifie ensuite si les termes employés n'existent pas avec un autres sens.
décimales actives, ce sont celles qui sont indispensables pour écrire un nombre, seul 0 est en réalité concerné, par exemple  008 0 n'est pas utile, dans  0,76000 les trois zéros à la fin ne sont pas actifs parce que non utiles, alors que dans 0,00076 les trois zéros le sont.
Pourquoi cette nuance: pour ne pas avoir de remarques dans ma troisième façon de construire [0,1[ à partir de N.
Je tiens à la disposition de qui veut mon travail complet, mais je ne sais comment le joindre à ces échanges.
   je vais essayer de le  résumer  en vous présentant les suites possibles, le rang des nombres dans R est mis en relation avec les nombres de N dans leur ordre naturel.

première: classement des R par le nombre de décimales, 2 décimales "actives" commençant par 0,01 et finissant par 0,99
                  N                          R

                  0                          0
                  1                          0,1
                ......                       .......
                  9                           0,9
                10                           0,01
                11                           0, 02
                .....                        ..........
deuxième, construction des R à partir des N dans leur ordre naturel, les 0 finissant les N passant devant les autres chiffres des décimales des R, juste après le virgule, pour prendre du sens.
                N                               R
                0                               0
              ......                          ........
               10                             0,01
               11                             0,11
              .......                          .......
              100                             0,001
              101                             0,101
            ........                           .........;

troisième, l'écriture en "miroir"
                N                                R
                0                                0
              .....                             ........
               10                                0,01
               11                                0,11
               12                                0,21
               13                                0,31
            ..........                           .........

  J'espère m'être fait comprendre, que tous les N ont une image et une seule dans [0,1[, et que tous les R ont une image et une seule dans N pour chacune des suites.
Merci de votre attention, espérant avoir bientôt de vos remarques.

Dernière modification par Larac (14-06-2018 20:37:21)

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#8 14-06-2018 16:47:11

yoshi
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Re : Article sur les deux infinis égaux démontrés il y a quelques mois.

Re,

Ok.
Mais entre 10 et 11 de [tex]\mathbb{N}[/tex] soit pour toi entre 0,01 et 0,11 de [tex]\mathbb{R}[/tex], il y a "autant" de nombres que dans tout [tex]\mathbb{N}[/tex]...
A quel nombre de [tex]\mathbb{N}[/tex] ferais-tu correspondre [tex]\sqrt 2[/tex] ? [tex]\pi[/tex] ?

Parce que là, avec ton miroir tu ne construis que des fractions décimales qui sont des décimaux purs : [tex]0,31=\dfrac{31}{100}[/tex] ...
Or, [tex]\mathbb{D}\subset \mathbb{Q}\subset\mathbb{R}[/tex], il y a encore de la marge...

Lecture pour lecture, je renouvelle ma suggestion... Tu es d'ailleurs parfaitement en droit de t'exclamer  : quoi, lire une BD ? J'ai passé l'âge !
CV de JP Petit  : Docteur es Sciences, Astrophysicien et dans sa jeunesse : Chargé de recherches au CNRS, Professeur de micro-informatique, Professeur aux Beaux-Arts...

Donc après ta lecture; ici : http://www.savoir-sans-frontieres.com/J … GOTRON.pdf p.17 à 25... (ça devrait te rappeler quelque chose), si tu le veux bien dus-nous ce que tu as à objecter à la démonstration présentée et à quoi ta méthode répondrait ?

@+


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#9 14-06-2018 18:39:25

Larac
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Re : Article sur les deux infinis égaux démontrés il y a quelques mois.

Tout à fait d'accord avec ta réponse, mais ayant classé les éléments de R par leur nombre de décimales la suite n'est pas classique, les infinis se retrouvent tous à ..; l'infini. les nombres qui suivent les nombres  entre 0,1 et 0,9 se retrouvent au sous-groupe 2, celui des nombres à 2 décimales, puis les nombres qui suivent les nombres entre  0,01 et 0,99 se retrouvent dans le sous-groupe 3, et ainsi de suite.
   remarque:  Les sous-groupes peuvent aussi être mis aussi en bijection avec N.
Ce procédé d'écriture repousse les nombres qui sont entre 0,001   ET 0,999 au quatrième rang et  au suivants.
Les nombres à écriture décimale cyclique se trouve donc dans le sous-groupe infini (1/7,  3/11 ), puisque leur écriture est infinie, de même ceux qui ne sont pas cycliques, comme pi et les autres transcendants. Oui, comme pour tous les infinis, il faut imaginer ce dernier sous-groupe. Ce sous-groupe contient tous les nombres infinis de N si on ne regarde que les décimales, ordonnés comme dans N, et en bijection avec eux.  Ceci est plus facile avec la deuxième suite proposée pour comprendre le rang, ( bien qu'inexprimable puisqu'il faudrait écrire des nombres à l'infini). Avec les nombres en miroir l'écriture est toujours théoriquement possible, mais les derniers (?) nombres commenceraient (?) par 9, dernier chiffre possible avant de passer au nombre suivant, qui ici ne devrait pas exister si je suis à l'infini.

Nous sommes ici avec l'infiniment petit, celui qui se répète infiniment entre chaque nombre même avec de nombreuses décimales. Ces infiniment petits se retrouvent repoussés avec mon écriture dans le sous-groupe infini, en bijection avec les naturels d'écriture infinie, ordonnés, c'est ce qui me permet de dénombrer R, , je peux toujours placer un nombre entre deux autres, ce nombre est écrit dans les sous-groupes suivants. ( la démonstration de Cantor sur l'indénombrabilité de R semble ainsi être court-circuitée.)

  la lecture de BD ne me dérange pas du tout, j'ai été content en voulant vérifier l'écriture de R seul point sensible de ma démonstration je pense, en voyant une petite série de cours présentant comment démontrer l'égalité entre des infinis différents points sur ligne, ligne sur surface ..., répondant à d'autres de mes questions....  Je vais regarder dès que possible, j'espère que mon âge ne m'interdit rien qui  soit différent de mes capacités physiques.
    J'espère avoir réussi à me faire comprendre. Merci beaucoup et amitiés.

Dernière modification par Larac (14-06-2018 21:11:03)

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#10 15-06-2018 14:20:14

yoshi
Modo Ferox
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Re : Article sur les deux infinis égaux démontrés il y a quelques mois.

Bonjour,

Reprenons...
Soit x un nombre réel quelconque...
Si x est un nombre décimal pur, par définition, la suite des décimales est finie, c'est à dire composée de 0 à partir d'un certain rang...
Si x est un rationnel pur (il est appelé suite décimale périodique illimitée), alors il existe une fraction irréductible [tex]\dfrac a b=x[/tex] où a et b sont des entiers naturels...
Et si $x$ est "irrationnel" ? Il n'est ni entier, ni décimal, ni rationnel. Ex : [tex]\sqrt 2[/tex]

Cantor a dit : supposons que [tex]\mathbb{R}[/tex] soit dénombrable.
Il comprend donc au moins une suite  [tex](u_n)[/tex] de nombres réels définie comme suit...
Les termes (nombres composant la suite) de la suite [tex]u_n[/tex] sont notés : [tex]u_{1},\;u_{2},\;u_{3},\;u_{4},\;\cdots u_{n}[/tex] tous différents.

Je désigne encore par :
[tex]u_{11},\;u_{12},\;u_{13}u_{14}\cdots u_{1n}[/tex] les décimales du nombre [tex]u_1[/tex]  et  [tex]u1=0,u_{11}u_{12}u_{13}u_{14}\cdots u_{1n}[/tex]
[tex]u_{21},\;u_{22},\;u_{23}u_{24}\cdots u_{2n}[/tex] les décimales du nombre [tex]u_2[/tex]  et  [tex]u_2=0,u_{21}u_{22}u_{23}u_{24}\cdots u_{2n}[/tex]

[tex]u_{31},\;u_{32},\;u_{33},u_{34}\cdots u_{3n}[/tex] les décimales du nombre [tex]u_3[/tex]  et  [tex]u_3=0,u_{31}u_{32}u_{33}u_{34}\cdots u_{3n}[/tex]

[tex]u_{41},\;u_{42},\;u_{43},\;u_{44}\cdots u_{4n}[/tex] les décimales du nombre [tex]u_4[/tex]  et  [tex]u_4=0,u_{41}u_{42}u_{43}u_{44}\cdots u_{4n}[/tex]
.........................................................................................................................................................
[tex]u_{n1},\;u_{n2},\;u_{n3},\;u_{n4},\;\cdots u_{nn}[/tex] les décimales du nombre [tex]u_n[/tex]  et  [tex]u_n=u_{n1}u_{n2}u_{n3}u_{n4}\cdots u_{nn}[/tex]

Cantor a alors  construit maintenant le nombre $x$ tel que (on pourrait en construire bien d'autres) :
[tex]x=u_{11}u_{22}u_{33}u_{44}\cdots u_{nn}[/tex]...
Ce nombre x n'appartient pas à la suite [tex]u_{1},\;u_{2},\;u_{3},\;u_{4},\;\cdots u_{n}[/tex]  précédemment définie !
Or, le nombre n, qui sert d'indice ayant été défini comme appartenant à  [tex]\mathbb{N}[/tex] peut être aussi grand souhaité puisque [tex]\mathbb{N}[/tex] est infini...
Il en résulte déjà que le cardinal de l'ensemble U des nombres composant la suite suite [tex](u_n)[/tex] est un nombre "infini" : on peut établir une bijection entre [tex]\mathbb{N}[/tex] et cet ensemble....
Or le nombre x que l'on construit n'est pas dans cet ensemble... et le nombre x' composé des décimales "en miroir"  de x non  plus et d'autres encore par un procédé différent mais toujours avec diagonales qui n'appartiendrait pas non plus à l'ensemble U...
On a donc en incluant dans U tous ces x supplémentaires, un 2nd ensemble V également infini...

S'il y a bijection entre U et [tex]\mathbb{N}[/tex], il ne peut donc y avoir de bijection entre (V plus "grand" que U) et [tex]\mathbb{N}[/tex]...
Coluche disait dans un sketch connu : plus blanc que blanc, c'est quoi ?...
Cf encore : http://www.bibmath.net/dico/index.php?a … cdiag.html

Qu'as-tu donc à redire sur la diagonale de Cantor ?
Parce que toi, tu dis : j'ai prouvé que [tex]\mathbb{R}[/tex] est dénombrable...
Or, depuis 1891, aucun mathématicien, personne n'a pu prouver que la démonstration de Cantor était fausse...
Pourtant, il ne peut pas y avoir deux démonstrations justes qui aboutissent à deux conclusions opposées !

Alors ?
Il ne reste plus que la fameuse "théorie du complot" : depuis 1891, tous les mathématiciens du monde se sont mis d'accord pour faire taire tous ceux qui ne penseraient pas comme Cantor !??
Ou encore : ils sont tous surcotés ?
Ou encore : ils acceptent tous comme parole d'évangile, comme un dogme intangible, ce qu'a dit Cantor ? par paresse intellectuelle ?

Pourtant, celui qui montrerait que Cantor avait tort, recevrait à coup sûr la médaille Fields... et la coquette somme qui va avec...

Ce que tu nous dit de tes travaux est largement insuffisant pour vérifier quoi que ce soit.
Je te suggère de déposer ton document sur http://www.cjoint.fr et de suivre la procédure, puis d'inscrire le code d'accès dans un post afin qu'on puisse récupérer ledit document

@+


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#11 16-06-2018 10:29:43

Dattier
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Re : Article sur les deux infinis égaux démontrés il y a quelques mois.

Bonjour,

Wiwaxia a écrit :

Ce n'est pas une affaire de droit, mais de compétence ... Avec un pareil argument, il faudrait rouvrir une rubrique consacrée à la quadrature du cercle, au mouvement perpétuel et autres lubies qui obsèdent une légion de monomaniaques; l'audience de ce site serait sans doute réactivée en quelques jours, mais sa réputation peut-être moins.

Il ne fait pas de doute pour moi que quelqu'un qui maîtrise son sujet est capable de le transmettre au plus grand nombre, pour certains sujet Richard Fienmann par exemple en était capable, mais maintenant on dirait que ce genre de personne à tous simplement disparut de la surface de la terre, et je suis lasse des gens qui refuse de communiquer sur leurs centre d'intêret sous prétexte que cela est trop complexe, je leurs répondrais que c'est eux qui ne maîtrise pas encore suffisament leurs sujets, comme c'est encore mon cas pour une grande partie des maths.

Je finirais en citant un célèbre poète français : "Ce que l'on conçoit bien s'énonce clairement, et les mots pour le dire arrivent aisément." N. Boileau.

Bonne journée.


Raisonnement exact : A est exacte si avec 10 exemples et pas de contre-exemples connus des concernés

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#12 21-06-2018 14:05:38

Larac
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Re : Article sur les deux infinis égaux démontrés il y a quelques mois.

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#13 26-06-2018 14:14:45

Larac
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Re : Article sur les deux infinis égaux démontrés il y a quelques mois.

Bonjour à tous
Je ne sais si j'ai réussi à faire parvenir ces deux dossiers, je me permets donc de répéter peut-être ces 2 adresses.
J'espère vous intéresser avec ce qui suit.
Bonne journée




https://cjoint.com/c/HFvnb7kk2kG   nombres réels dénombrables

https://www.cjoint.com/c/HFAmWvX5ojX    la diagonale de Cantor

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#14 26-06-2018 14:42:21

yoshi
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Re : Article sur les deux infinis égaux démontrés il y a quelques mois.

Salut,

J'avais bien pris connaissance de ton envoi, lu et essayé d'y trouver une faille...
Mais, le document comportant 5 pages mais faisant référence à des pages ultérieures, j'attendais donc une suite...
Dans ce que tu as fait, tu as montré que l'ensemble des décimaux positifs est dénombrable...
Reste à passer au cas de [tex]\mathbb{Q}[/tex], puis de [tex]\mathbb{R}[/tex].
Je suis persuadé que la plupart des amateurs (au sens étymologique, donc non péjoratif) sont fâchés avec la notion d'infini, très difficile à maîtriser... Moi, ex prof de Maths, quand je manipule cette notion, en dehors des exercices, je marche sur des œufs et je ne suis pas persuadé de la maîtriser...
Il paraît que, se rendant compte que le nombre d'éléments de [tex]\mathbb{N}[/tex] étant infini, celui de [tex]\mathbb{R}[/tex], l'était "encore plus" (si j'ose m'exprimer ainsi) et que cela aurait beaucoup perturbé Cantor... Ce qui me "rassure" ^_^...
Il y a déjà eu deux discussions sur le sujet :
http://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=2235
http://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=109
Et du point de vue mathématique, il y a eu au moins un intervenant qui était une pointure...

@+

[EDIT]Je viens de prendre connaissance de ton document : diagonale de Cantor.
J'ai vu que tu avais lu le Logotron : si ça t'as plu, il y en a bien d'autres, tu l'as constaté
Perso, j'avais commencé par le Geometricon : ça se lisait bien, ça paraissait facile mais sur la fin je me suis aperçu (comme pour beaucoup d'autres de ces BD) que si j'essayais de réexpliquer ce que j'avais lu, mon niveau de compréhension n'était pas celui que j'estimais ^_^


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#15 01-07-2018 14:12:04

Larac
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Re : Article sur les deux infinis égaux démontrés il y a quelques mois.

https://www.cjoint.com/c/HGbk0UbqIQ2
Salut
Merci tout d'abord d'avoir reconnu que les listes de nombres que j'ai proposées sont dénombrables.

Je crois que le problème qui se pose est assez simple:
    1-  est-ce que mon système de construction des nombres  à écriture décimale de [0,1[  construit tous ces nombres à l'infini?
              Ma réponse est oui. On est jamais si bien servi que par soi-même.
         Bien sûr les nombres que j'écris, eux, ne sont pas écrits avec une infinité de décimales, qui le peut ? mais par construction nous pouvons théoriquement les écrire à l'infini.  Le refuser c'est me semble t'il refuser beaucoup des travaux des mathématiciens sur cet infini.
     2- L'écriture décimale de tous les nombres représente t'elle les réels ?   C'est là vraiment le nœud du problème.
  Si oui, alors le problème est réglé: oui R est dénombrable.
pour le oui:
          a- certaines définitions du genre: nb réel, nb dont l'écriture décimale est finie, non finie et périodique ou non périodique,
                                                      ou un nb réel est non seulement un nb rationnel, mais peut aussi être un nb dont le développement décimal est infini et non périodique.
         b-  l’écriture de nombres réels infinis par des mathématiciens écrits à l'aide de points de suspension, même si ces suites sont parfois  écrites sous la forme abstraite {m1, m2, ...et non avec des chiffres comme l'a fait d'après mes sources Cantor pour le tableau à l'origine de sa diagonale.
pour le peut-être:
                Certaines définitions de R moins précises sur l'écriture, tel: un nb réel est un nb soit rationnel soit irrationnel.

Si c'est oui plus de problème R est dénombrable.
Si c'est non, à ma liste je peux ajouter les nombres rationnels et les nombres algébriques que Cantor a démontré dénombrables.
                  restent les transcendants. Là encore:
pour le peut-être:  les nb transcendants sont des nb irrationnels qui ne sont pas algébriques.
pour le oui:  les transcendants s'écrivent sous la forme de décimales infinies et non répétitives.

Les questions sont donc:
          L'écriture avec points de suspension à la fin est-elle reconnue comme exprimant une construction à l'infini ?
          Est-ce que tous les nb écrits sous la forme d'une écriture décimale finie ou infinie, périodique ou non représentent bien R ?

Bon weekend à tous.

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#16 02-07-2018 06:56:57

Wiwaxia
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Re : Article sur les deux infinis égaux démontrés il y a quelques mois.

Bonjour,

Est-ce que tous les nb écrits sous la forme d'une écriture décimale finie ou infinie, périodique ou non représentent bien R ?

À-priori faux: une telle liste complète des réels de [0 ; 1[ (par exemple) ne peut exister, puisque pour toute liste supposée définie:
R1 = (d11 , d12 , d13 , ... , d1j ... )
R2 = (d21 , d22 , d23 , ... , d2j ... )
R3 = (d31 , d32 , d33 , ... , d3j ... )
...
Ri = (di1 , di2 , di3 , ... , dij ... )
...

on peut trouver trouver de nouveaux réels qui n'en font pas partie, par exemple en posant:

S = (F(d11) , F(d22) , F(d33) , ... , F(dkk) ... )
avec: F(d) = (d + 1) Mod 10  - soit F(d) = d + 1 si (d < 9) sinon F(9) = 0 .
(S) diffère ainsi de chacun des termes précédents (Rk) au niveau de la décimale de rang (k).

C'est je crois le principe de la démonstration de Cantor, si je l'ai bien comprise ...
On en revient à ce qui a déjà été dit: les réels de [0 ; 1[ ne sont pas dénombrables.

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#17 02-07-2018 18:04:11

Larac
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Re : Article sur les deux infinis égaux démontrés il y a quelques mois.

Bonjour,
Merci pour votre apport.
je parle bien de tous les nombres écrits sous la forme d'une écriture décimale finie ou non finie, périodique ou non.
     Bon, une écriture décimale infinie, c'est impossible à écrire mais envisageable avec certaines règles de construction.
     Je vous propose un petit test:
Vous choisissez 5 nombres de l'intervalle [0,1[ écrits sous la forme d'une écriture décimale, nb courts, longs, curieux, piégeux, .... vous oubliez pour l'instant provisoirement la diagonale de Cantor.
     Vous ouvrez le premier fichier joint du 26/06  et vous cherchez dans les trois suites proposées ( enfin en imaginant la suite de leur construction avec les règles données comme on accepte de le faire avec les entiers ou les naturels) le rang de vos nombres.
           avec le troisième fichier très facile parce que vos nombres sont finis.
           avec le second, facile aussi.
           avec le premier, un peu plus compliqué mais possible.
    Je pense que vous acceptez d'imaginer à l'infini la construction de ces suites, comme on l'accepte pour les réels.( J'insiste mais c'est nécessaire )
     Maintenant vous repensez à la diagonale de Cantor. Avez-vous de nouvelles questions sur celle-ci ?  Il y a 50 ans je l'avais acceptée telle quelle, merveilleuse de logique, aujourd'hui, après avoir trouvé mes trois suites, j'ai résumé mes premières remarques dans le deuxième dossier du 26/6, je pense que, certainement maladroites, mes remarques vont dans le bon sens.

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#18 04-07-2018 21:31:24

Larac
Membre
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Re : Article sur les deux infinis égaux démontrés il y a quelques mois.

réponse à Yoshi et Wiwaxia
          1- Je remercie beaucoup Yoshi qui me pousse dans mes retranchements et me force à aller vérifier dans ma ''bible des ensembles '' ( théorie des ensembles , E.Kamke, prof de math à l'Université de Tubingen - monographie Dunod- dépôt légal 4ième trimestre 1963-  il y a longtemps donc, mais je pense que ce que j'y trouve est toujours valable ). J'y trouve, pge 26, tous les ensembles dénombrables sont équivalents, mais il n'équivalent à aucun ensemble fini donc:    si l'ensemble des décimaux positifs est dénombrable il est équivalent à Q.
  Donc, premier acquis, ma suite est bien une suite infinie, équivalente à N et à Q entre autres, et dénombrable.
         2-  Je me sers de la deuxième suite pge 14 de mon envoi, la première servant surtout à présenter le principe de construction des décimales, sans en oublier un nombre; ceux qui se glissent entre deux s'écrivent dans les sous-groupes de rangs supérieurs.
2/7 = 0,28571428571428....
0,285714 est un nombre décimal et rationnel
0,28571428571428....  est un nombre rationnel non décimal.
Ma liste se continuant à l'infini, cette écriture  ( puisqu'aucun nombre écrit avec les 10 chiffres possibles en écriture décimale ne peut échapper à ma liste, ou alors il faut reconnaitre des ''trous'' dans l'écriture des naturels qui se bâtît sur le même principe) se rencontre dans le sous-groupe 'infini', on peut étendre peut-être son écriture 0,285714 avec un trait horizontal au-dessus de 285714 aux naturels, ce qui indique alors le rang de 2/7.
    de même dans la famille 1 (pg 5 de mon envoi ) , racine carrée de 2  s'écrit sous la forme 1,4144213562373095..., le rang de ce nombre étant le dans le sous-groupe infini, rang indiqué par les décimales avec suspension.
    Pour pi, je crois l'avoir déjà indiqué.
A lire vos remarques.

Dernière modification par Larac (04-07-2018 21:40:54)

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#19 05-07-2018 12:00:12

yoshi
Modo Ferox
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Re : Article sur les deux infinis égaux démontrés il y a quelques mois.

Bonjour,

Je crains que ce qui suit ne te plaise pas : n'y vois aucune animosité de ma part, seulement une forme de sidération...
Je n'ai pas du tout apprécié par contre ta demande d'examen "sans parti pris"...
Est-ce à dire que tu te présentes devant une simple chambre d'enregistrement qui n'a qu'un rôle, celui de s'esbaudir en te lisant ?
Désolé, mais j'ai un parti... pris : j'ai l'intime conviction que tu ne peux pas  avoir raison...

Seulement voilà, je reconnais avec humilité - même ex prof de Maths - ne pas être à la hauteur et incapable de formuler ce qui me gène sur le fond dans ce que tu as fait...
C'est un domaine bien trop piégeux pour dire n'importe quoi à l'emporte-pièce.
En outre, donc, il faudrait que j'y passe des heures et je n'en ai pas ce courage...
Loin d'être évident, s'pas, si j'en juge au nombre de volontaires qui se bousculent au portillon pour lire ta prose...
Je continuerai à regarder comme ça, de temps en temps, jusqu'à ce que l'idée me vienne (si elle vient)...

Maintenant, je te livre un sentiment : c'est à la fois trop simple et trop capilotracté pour ne pas être faux ! Il y a forcément un os dans le potage.
Comment imaginer que toi, bricoleur de génie, tu puisses penser pouvoir renvoyer Cantor aux oubliettes de l'histoire des mathématiques ???
https://www.universalis.fr/classificati … nos-jours/
Voilà une liste de mathématiciens dont beaucoup sont détenteurs de la médaille Fields (!) : c'est quelque chose quand même une médaille Fields, le pendant mathématiques des prix Nobel des Sciences, rien moins que ça ! Et aucun d'entre eux n'a jamais émis le moindre doute sur le fait que Cantor ait pu avoir tort ?
Te rends-tu compte que, toi, tu annonces urbi et orbi que Cantor et sa diagonale peuvent aller se rhabiller et que ce ô combien brillant aréopage aussi ? Toi, tu leur fais la leçon ? Te rends-tu compte ? Mais qui penses-tu donc être ? Une réincarnation-fusion de ce qui fait de mieux en génie mathématique ?
La lecture de tes pages me donne la migraine, ça gigote dans tous les sens, j'ai du mal à suivre tes "raisonnements", tu empiles les affirmations péremptoires mêlées (nourries) de vérités déjà bien établies, y transpirent une autosatisfaction de bon aloi : tu as beaucoup travaillé, c'est certain...
Comme beaucoup de tes alter ego, il me semble que tu es venu clamer ta vérité, pas chercher à ce que quelqu'un  puisse trouver une faille dans ton truc...
J'ai lu ton doc à propos de Cantor et ta conclusion (?) m'a laissé perplexe, je me demande toujours si tu es d'accord avec le raisonnement de Cantor...

[HS]
D'ailleurs à propos de doc, tes documents sont dans un format propriétaire, le docx, propriétaire et fermé ; personne en de dehors de ceux qui l'ont conçu chez PetitMou, n'est capable de dire ce qu'il cache...
Moi, je travaille avec des logiciels libres et autant que faire se peut, gratuits et je fais aussi bien que Word...
La route est longue et la voie est libre...
[HS]

La problématique est pourtant claire :
Cantor a établi un raisonnement par l'absurde qui tient en une page : je suis en accord avec cette démonstration, moi, je n'y décèle pas de faille...
Ce raisonnement est-il exact ?
Si tu estimes que oui, alors, tu ne peux pas prétendre avoir raison.
Si tu estimes que non, alors il n'y a pas 40 pages à lire, ça tient sur une page, et tu dois pouvoir pointer une ligne et dire : c'est là que ça cloche, parce que...
Simple, non ?
Il ne peut y avoir d'autre explication... Si ? Laquelle ?

Je te l'ai déjà dit : alors qu'est-ce que tu attends pour montrer que le raisonnement dit "diagonale de Cantor" est faux et où ??

C'est ce que j'essaie de faire avec tes documents... A ce propos, je suis désolé de te décevoir si tu te fais la remarque que mes compétences mathématiques ne sont pas à la hauteur des tiennes, mais qu'est-ce que Vc16 ?
Je n'arrive pas à dire où est la faille, je n'en suis pas capable et cela ne signifie en aucune manière que j'estime ton "œuvre" valide...
Je n'ai pas moi la prétention de de pouvoir démolir en quelques heures un travail qui a dû te prendre des centaines d'heures...

Je vais te dire, pour en terminer : j'avais envisagé de faire une compilation (j'avais commencé) de tes écrits et les expédier à Cédric Villani (médaillé Fields, ce qui n'est le cas d'aucun d'entre nous), en précisant d'où cela provenait, mais devant mon incapacité à synthétiser, réorganiser devant ton œuvre, j'y ai renoncé.
Un conseil désintéressé donc :
Ce travail est de toi : revois-le dans ce sens, puis expédie-le (en pdf) à Cédric Villani en lui demandant son avis et expliquant pourquoi, selon toi, le raisonnement de Cantor est faux.

Selon tous ceux ceux qui le connaissent, d'après ce qu'on peut lire, c'est quelqu'un de simple, non prétentieux : tu aurais probablement un retour valable...
Autre solution et ça me coûte de te le suggérer : t'adresser à un autre forum, moins "familial", avec beaucoup plus d'intervenants, et dis-nous lequel, que je suive ça avec attention...
On apprend à tout âge.

@+

[EDIT]
Des gens bien plus compétents que moi :
https://www.math.u-psud.fr/~pansu/websm … bilite.pdf
https://gargantua.polytechnique.fr/siat … CYYYSJpBY6

Dernière modification par yoshi (05-07-2018 12:07:37)


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#20 05-07-2018 20:41:35

tibo
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Re : Article sur les deux infinis égaux démontrés il y a quelques mois.

Salut,

Ayant le même parti pris que yoshi, je n'avais suivi cette discussion que de très loin, prenant Larac pour un n-ième illuminé...
Je dis ça sans animosité aucune ; ne le prend pas mal Larac, mais nous en avons déjà croisé quelques uns sur le forum et à force on finis par ne plus y prêter attention.

Néanmoins, l'acharnement de yoshi m'intrigue. J'ai donc décidé de me pencher plus sérieusement sur ta méthode.
Et j'avoue ne pas être sûr de l'avoir comprise.

Ce que j'ai compris :
Tu essaies de créer une bijection de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{N}$ comme suit
Soit $x\in]0,1[$.
Si $x$ est un nombre décimal, alors tu arrives à lui associer un entier (de manière qui me semble un peu étrange, mais je suis d'accord avec cette partie là).
Mais si $x$ n'est pas un décimal, comment procèdes-tu pour lui associer un entier ?

Par exemple $\dfrac{1}{3}$, quel est l'entier associé ?



En fait si j'ai bien compris, tu vois les réels comme des éléments de $\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}^{\mathbb{N}}$, en remarquant qu'un réel de $]0,1[$ peut être vu comme une suite infinie d'entiers entre 0 et 9.
Ceci est vrai.
Et ça répond à ta question : Est-ce que tous les nombres [réels] écrits sous la forme d'une écriture décimale finie ou infinie, périodique ou non représentent bien R ?"
La réponse est oui.
On a bien une bijection entre $\mathbb{R}$ et $A=[[0,9]]^{\mathbb{N}}$.

Mais $\mathbb{N}$ est en bijection avec $B$ l'ensemble des suites de $A$ presque nulles (dont tous les termes sont nuls sauf un nombre fini).
Et $B$ est une partie stricte de $A$.
Donc tu ne pourras trouver qu'une injection stricte de $\mathbb{N}$ dans $A$.

Il existe d'ailleurs le résultat suivant :
$\{0,1\}^{\mathbb{N}}\simeq\mathcal{P}(\mathbb{N})\simeq\mathbb{R}$.
où $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ est l'ensemble des parties de $\mathbb{N}$.
Et il est facile de créer une bijection entre $A$ et $\{0,1\}^{\mathbb{N}}$.

Dernière modification par tibo (05-07-2018 20:45:57)


A quoi sert une hyperbole?
----- A boire de l'hypersoupe pardi !

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#21 13-07-2018 16:21:16

Larac
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Re : Article sur les deux infinis égaux démontrés il y a quelques mois.

Prévisualisation du message
https://www.cjoint.com/c/HGnmW62xXVq
   Désolé Yoshi, je ne voulais pas te vexer, mais c'était aussi adressé à tout ceux qui suivent notre discussion, j'ai vu qu'il devait y en avoir d'après le nombre de visites, nous ne devions pas être que 2 à lire nos échanges, comme ma réponse à Wiwixia était une tentative de créer une incitation à lire mes propositions.
   Lorsque je me suis rendu compte de ce que j'avais trouvé, presque par haserd, j'ai beau ne pas connaitre grand-chose aux ensembles je me rendais bien compte que si c'était vrai cela avait quand même une certaine importance. Ma première réaction a été de demander au cercle de ceux à qui je confie ces remarques ( ma famille et quelques amis) s'ils voyaient où il y avait erreur. Pas de réponse. Je décide alors, suite à leurs conseils, de m'adresser à un forum.
   Je sais trop bien qui je suis, un simple instit à la retraite qui a toujours essayé de passionner ses élèves dans tous les domaines. Je me rends compte que j'avais estimé mon niveau à celui de la troisième, je me suis peut-être surévaluer. J'ai énormément de difficultés à comprendre vos explications, il me faut comprendre le vocabulaire ensembliste, le retenir et l'assimiler, j'ai beaucoup oublié et je n'ai plus la souplesse d'esprit de mes 20 ans. J'ai donc beaucoup cherché sur internet et mon livre.
    C'est vrai que, progressivement, lors de nos échanges, je me suis mis à croire en ce que je propose. Si l'écriture de [0,1[ est valable, cela semble le cas comme me le dit Tibo, je reste finalement dans le domaine de la numération en base dix, et là je connais un peu pour y avoir pas mal réfléchi et travaillé pour mes élèves. Même s'il parait, à moi compris, incroyable que ce soit si simple, je crois que quand la faille se dévoilera, la chute sera brutale.
   Si la faiblesse de mon niveau en math m'a peut-être aidée jusqu'ici, elle m'est un gros handicap maintenant. La diagonale m'a demandé beaucoup de temps pour la comprendre, il m'est difficile d'interpréter les formules que vous m'écrivez, et le fait de ne savoir les utiliser fait que, vous, en 1/2 ligne vous exprimez une idée, moi il me faut 1/2 page, et cela en vient à ressembler à du charabia.
   J'ai refait et retravaillé la diagonale, son analyse me semble très complexe sous une apparent simplicité, je pense que la nouvelle présentation sera plus aisée à comprendre. Oui, même si la conclusion est un peu modifiée, je pense qu'il y a des faiblesses dans son usage. Je pense l'utiliser avec un autre but aussi. C'est peut-être de la prétention mais je crois en une vérité qui s'impose pour l'instant à moi. Je ne suis pas Cantor, loin s'en faut, pendant 50 ans quand je parlais numération je pensais à N et R qui pour moi la complétaient, et je trouvais cela formidable. J'en ai parlé dans Vc16. Si cela n'était plus, je pense que l'idée de compléter la numération avec les infinis est encore possible autrement, aux mathématiciens d'ouvrir de nouveaux horizons.
   A propos, Yoshi, tu parles de compétences math à propos de Vc16, l'explication est en partie donnée page 2 du fichier communiqué le 21 juin, il n'y a rien de tout cela. Ce n'est que le compte-rendu d'un défi que je me suis lancé l'hiver 2016-2017, avec textes, dessins, maths, photos, écrit en pensant à des amis que le temps et la distance ont éloignés, pour certains même disparus définitivement. Ceci est normalement destiné à être lu seulement par des membres de ma famille et quelques amis; Je te le joins donc, tu risques de bondir à sa lecture.
   J'ai décidé de prendre des cours d'informatique pour traduire mes envois au format pdf, on a découvert des dysfonctionnements  dans mon matériel, sympa le monoteur m'a fait parvenir la transcription de la partie math de Vc16, je la joins.
   Je pense envoyer bientôt ma nouvelle approche de la diagonale en pdf, ainsi que ma réponse à Tibo.
    Au fait, Yoshi, tu me parles d'expédier mon dosssier à Cédric Villani, comment puis-je le joindre ?
   Merci pour ce que tu m'as apporté, j'espère que tu continueras le petit voyage , chacun garde ses idées, je risque surtout une grosse déception, tant pis j'aurai rêvé.

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#22 13-07-2018 17:31:37

yoshi
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Re : Article sur les deux infinis égaux démontrés il y a quelques mois.

Re,

J'ai décidé de prendre des cours d'informatique pour traduire mes envois au format pdf, on a découvert des dysfonctionnements  dans mon matériel, sympa le monoteur m'a fait parvenir la transcription de la partie math de Vc16, je la joins.

Alors mon ami, si tu avais demandé, je te fournissais la réponse en 10 lignes, explications comprises...
Il te suffisait de télécharger le logiciel PDFCreator (la place des majuscules est fixe : il y a - avait ? - une imitation qui ne vaut pas l'original avec c au lieu de C) et de le lancer ensuite...
Il est dit qu'il installe une "imprimante virtuelle" nommée PDFCreator qui apparaît dans le menu Imprimer quand on l'ouvre...
Quel que soit le traitement de textes, de logiciel de dessin... que sais-je encore, dès que tu veux convertir ton document en pdf, tu fais Fichier --> Imprimer et là apparaît l'"imprimante" PDFCreator que tu sélectionnes et via le menu Propriétés tu peux choisir couleur ou N&B et bien d'autres possibilités encore.
https://www.pdfforge.org/pdfcreator/download et version FREE...
Supposons que tu choisisses N&B, tu demandes l'impression et il te crée en réalité un pdf...
Tu peux "imprimer" un document en bloc mais aussi scanner plusieurs pages réellement imprimées, en faire plusieurs pages pdf puis via un 2nd logiciel, PDFTKBuilder, les rassembler en un seul pdf... https://www.commentcamarche.net/downloa … tk-builder
Ce dernier soft te permet aussi l'opération inverse : découper un pdf en pages séparées...
Bon, j'arrête là : ça ne demande pas de compétence informatique particulière.
Je les conseille souvent ou les installe pour des débutants : en utilisation basique (90% du temps) ça va tout seul...
Personnellement, je n'utilise pas la suite Microsoft Office mas la suite libre et gratuite (ce n'est pas synonyme) Apache OpenOffice.
Libre, parce que,, à qui en a la compétence, il est loisible de télécharger les milliers de lignes de code du logiciel, de l'examiner, me modifier à loisir, de le garder, de le remettre en circulation, modifié, gratuitement ou contre paiement...
Et tu as la garantie du respect de ta vie privée...
Gratuit. Pas d'explication particulière. Un logiciel peut être gratuit et non libre.
Sur la fin de ma carrière, c'est avec OpenOffice.org (dit OOo) que j'ai réalisé mes cours, interros, Devoirs Maison, corrigés...
Et depuis OpenOffice, j'"imprime" mes documents en pdf...
En natif, depuis OpenOffice, je pourrais exporter mes documents en pdf et pourtant, j'emploie PDFCreator, parce que lui, outre la palanquée de possibilité offertes, une est indispensable  : la possibilité de choix du N&B qui n'est toujours pas possible aves l'Export de OOo

Cédric Villani. Va voir là : http://images.math.cnrs.fr/_Villani-Cedric_.html

@+

[EDIT]
Et si ce n'est pas encore fait, je te suggère d'aller d'abord lire :
https://gargantua.polytechnique.fr/siat … CYYYSJpBY6
Et seulement après :
https://www.math.u-psud.fr/~pansu/websm … bilite.pdf

Dernière modification par yoshi (13-07-2018 17:35:26)


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

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#23 14-07-2018 01:09:13

Dattier
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Re : Article sur les deux infinis égaux démontrés il y a quelques mois.

Bonsoir,

Les maths aussi durable qu'elles ont put être ne sont pas éternelles.
Le principe de base des maths, peut-être traduit ainsi : "si je joue au dame, alors je joue au dame"
Et bien ce principe peut-être battut en brèche simplement parce que ce jeu se déroule dans la vraie vie (la notre) et que l'on peut tomber sur des cas non tranché par les régles du jeu de bases, qui font que l'on peut choisir de jouer au jeu D+R1, ou D+R2 de manière tout autant légitime.

L'uniformisation des esprits (par l'école ou autre dispositif) nous empêche de voir ces cas, ou même de les croire possible, alors que rien n'empêche l'existence de telle chose, même la logique nous prédit leurs existences pour des théories où l'on peut exprimer l'arithmétique de Peano (théorèmes d'incomplétude de Godël).

Bonne soirée.

Dernière modification par Dattier (14-07-2018 23:59:37)


Raisonnement exact : A est exacte si avec 10 exemples et pas de contre-exemples connus des concernés

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#24 20-07-2018 13:35:14

Larac
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Re : Article sur les deux infinis égaux démontrés il y a quelques mois.

https://www.cjoint.com/c/HGumD0hyHG0

Bonjour à tous

lorsque j'observe tous les nombres réels de [O,1[ il me semble logique d'y voir  des nombres écrits avec une décimale active, 2 décimales, 3 décimales ..... une infinité de décimales. Ceci correspond à la création de l'échelle des nombres en base dix, voir page 29 de Vc16 du 13/07.
il m'est facile de connaitre le nombre à 0 décimale, 0  (sous- groupe 0) de ma suite page 7 et 9.
je connais les nombres à 1 décimale (les dixièmes): (sous-groupe 1)
0,0  est mis de côté, le 0 des dixièmes étant inactif mais pouvant devenir actif aux ordres suivants
  0,1               0,2               0,3               0,4      ...........                   0,9
puis les nombres à 2 décimales ( les dixièmes et centièmes)( sous-groupe 2) en combinant chaque nombre du sous-groupe 1 avec les dix chiffres possibles au groupe 2
0,0 associé aux dix chiffres:
0,00 mis de côté ...
0,01          0,02          0,03           0,04          .........         0,09
0,1 combiné avec les dix chiffres possibles:
0,10 existant déjà sous la forme 0,1 dans le sous-groupe 1
0,11          0,12          0,13          ..............                       0,19
0,2 combiné avec les dix chiffres possibles:
0,20 existant déjà sous la forme 0,2 dans le sous-groupe 1
0,21          0,22           0,23           ............                        0,29
et ainsi de suite jusqu'à 0,99
puis avec les sous-groupes 3, 4, .......   infini
ce mode de création est finalement aussi celui pratiqué dans diagonale2 deuxième partie, il permet de créer l'ensemble des réels de [0,1[ considéré comme  un ensemble de nombres à écriture décimale, avec 0 pour nombre des unités, et l'ensemble des décimales possibles poussé à l'infini sans "trou". Cet ensemble de décimales peut-être répété avec chaque entier positifs ou négatifs pour créer l'ensemble des réels.
" en général un ensemble infini E est dit dénombrable si et seulement s'il peut être mis sous la forme d'une suite {m1, m2, m3 ....}c'est à dire si on peut faire correspondre, par un procédé bien défini, à chaque élément m de l'ensemble E un nombre naturel et un seul et à chaque nombre naturel un élément m et un seul de l'ensemble E, c'est ce que j'ai fait page 7,14 et 15.
  Cette suite est la première que j'ai proposée.
  Ayant remarqué la similitude de création avec N, j'ai pensé me servir directement de N pour recréer une suite avec les mêmes nombres à écriture décimale, mais en jouant sur les 0 actifs, inactifs puis réactivés en les positionnant juste derrière la virgule chez les décimaux.C'est ma deuxième suite page 14, ou la bijection suit l'ordre des Naturels et permet de trouver facilement le rang de chaque élément de [0,1[. Ici encore les décimales peuvent être ajoutées à n'importe quel entier positif ou négatif pour créer l'ensemble des réels.
   Ceci peut paraitre trop facile mais, comme je respecte la création de l'échelle des nombres à écriture décimale je ne dois pas être trop loin de la vérité. ( voir page 29 de Vc16.)
  Merci à tous ceux qui m'ont lu et particulièrement Yoshi, j'essaierai de comprendre les documents qu'il me conseille de lire, pour l'instant c'est surtout le second (gargantua) qui me parait le plus clair.


erreur dans le fichier joint, veuillez lire s'il vous plait en bas de la première page :Mon tableau est composé de tous les nombres Naturels dès le départ.

mille excuses auprès de Tibo j'ai oublié ma réponse à sa question. J'utilise ma deuxième suite.
1313 :  a-  Ce nombre ne fait pas partie de la famille 0, mais de la famille 1313 ( [1313,1314[  )
                 Dans cette famille il a le rang 0
            b- Ce nombre est l'expression des décimales de  0,1313     il fait partie  de [0,1[, il a le 1313 ième rang, en bijection avec le Naturel 1313.

                Avec la troisième suite il aurait le rang 3131.

Dernière modification par Larac (20-07-2018 21:33:48)

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#25 20-07-2018 23:24:59

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Re : Article sur les deux infinis égaux démontrés il y a quelques mois.

Bonsoir,

Il est possible que tu utilises un énoncé indécidable, d'où la difficulté pour trancher la position de ta contribution.
Un excellent article :  Presque tout est indécidable

Bonne soirée.

Dernière modification par Dattier (20-07-2018 23:26:01)


Raisonnement exact : A est exacte si avec 10 exemples et pas de contre-exemples connus des concernés

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