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#1 10-09-2017 19:10:04

josias
Membre
Inscription : 10-09-2017
Messages : 1

un problème de newton

Un triangle rectangulaire de périmètre p=30 et d'aire A=30 déterminer les mesures de ce triangle sa taper j'avoue aidez mw svp

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#2 15-11-2017 20:58:01

AAlex
Membre
Inscription : 13-11-2017
Messages : 6

Re : un problème de newton

On note a,b et c les 3 côtés du triangle rectangle, avec l'angle droit formé par l'angle entre le coté a et b.
(-> fais un schéma pour visualiser)

[tex]
p = 30 \Rightarrow a+b+c=30
[/tex]
[tex]
A=30 \Rightarrow \frac{a\times b}{2}=30
[/tex]

c'est à dire [tex]\begin{cases} a+b+c=30 \\ a=\frac{60}{b} \end{cases}[/tex]

[tex]\begin{cases} c=30-b-\frac{60}{b} \\ a=\frac{60}{b} \end{cases}[/tex] et on sait que [tex]c>0[/tex]
[tex]30-b-\frac{60}{b}=0[/tex] ,soit [tex]30b-b^² -60=0 \Rightarrow [/tex](en calculant [tex]\Delta[/tex] et tout) [tex]b \in ]15-\sqrt{165} ; 15+\sqrt{165}[[/tex]

Par exemple, pour b = 10 est dans l'intervalle ci dessus, et donc a = 6 et c = 14.

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#3 16-11-2017 05:32:43

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 11 421

Re : un problème de newton

Bonjour,

Ici la politesse est de mise : bonjour, bonsoir, salut, s'il vous plaît aussi ne ne sont pas de trop...
Abréviations à proscrire : mw pour moi ?
Gain de temps : 1 lettre !!!! Formidable !

Sujet fermé donc
Il faudra rouvrir une discussion en y mettant les formes cette fois.

Merci de ta compréhension

       Yoshi
- Modérateur -


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#4 18-11-2017 07:57:20

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 11 421

Re : un problème de newton

Bonjour,

Personne ? Dommage...
Discussion rouverte.

[tex]\text{ pour }[/tex] b = 10 est dans l'intervalle ci dessus, et donc a = 6 et c = 14

Hélas, c'est faux.
[tex]c^2=14^2=196[/tex]
[tex]a^2+b^2=6^2+10^2=136[/tex]
D'où [tex]c^2 \neq a^2+b^2[/tex], le triangle n'est pas un triangle rectangle...

c'est à dire [tex]\begin{cases} a+b+c=30 \\ a=\frac{60}{b} \end{cases}[/tex]

Oui, mais ce n'est qu'un système de deux équations à 3 inconnues qui ne permet pas de tomber directement sur LA solution.
Il faut faire plusieurs essais pour b afin de tomber sur le bon : il manque l'appel aux mânes de Pythagore. En effet josias avait écrit : triangle rectangulaire (formulation inhabituelle).

La solution, la voilà..
Soient a et b les longueurs des côtés de l'angle droit, et c celle de l'hypoténuse
Périmètre [tex]p = a +b+c = 30[/tex]
Aire : [tex]\mathcal{A}= \frac{ab}{2}=30\,\Leftrightarrow\, ab =60[/tex]
Théorème de Pythagore : [tex]a^2+b^2=c^2[/tex].
D'où le système :
[tex]\begin{cases} a +b+c &= 30\;(1)\\ab &= 60\;(2)\\a^2+b^2 &=c^2\;(3)\end{cases}[/tex]
On va écrire le 1er membre de l'équation (3) ainsi :
[tex]a^2+b^2=(a+b)^2-2ab[/tex]
Soit grâce à (2)
[tex]a^2+b^2=(a+b)^2-120[/tex]
Soit
[tex](a+b)^2-120=c^2[/tex] (4)
On va utiliser (1) :
[tex]a+b=30-c[/tex]
On obtient enfin :
[tex](30-c)^2-120 =c^2[/tex] (5)
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]900-60c+c^2-120=c^2[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]-60c+780=0[/tex]

D'où [tex]c =\frac{-780}{-60}=13[/tex]
Le 1er triplet Pythagoricien est (3,4,5), le suivant (5,12,13).
Le triangle rectangle a pour dimensions 5, 12 et 13.

Par le calcul :
On replace dans (1) et on obtient le système :
[tex]\begin{cases} a +b&= 17\;(1)\\ab &= 60\;(2)\end{cases}[/tex]
La solution à partir  de S = 17 et P = 60 s'obtient en résolvant [tex]x^2-Sx+P=0[/tex]
Soit encore
[tex]x^2-17x+60=0[/tex]
[tex]\Delta=17^2-240=289-240=49 = 7^2[/tex]
D'où les solutions :
[tex]a,b=\frac{17\pm 7}{2}=5,12[/tex]
Vérification :
[tex]p = a+b+c=5+12+13=30[/tex] et [tex]\mathcal{A}=\frac{5\times 12}{2}=30[/tex]

@+


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