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#1 14-11-2017 17:28:21

convergence
Membre
Inscription : 16-12-2015
Messages : 100

Exercice de topologie dans R2

Bonsoir,

S'il vous plait, j'ai besoin d'aide

Soit $\Omega_r=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2; x^2+y^2=r^2\}, r\geq0$ et $\sigma$ est définie par $\emptyset$ et toute les unions des ensembles $\Omega_r$

J'ai un problèmes avec le calcule des adhérences des ensembles suivants
1) $\overline{\{0\}\times \mathbb{N}}$
2) $\overline{\Delta}, \Delta=\{(x,x), x\in\mathbb{R}\}$
3) $\overline{A}, A=[-2,2]\times [-3,3]$

pour la premiére on a toujours $\{0\}\times\mathbb{N}\subset \overline{\{0\}\times \mathbb{N}}$

pour $X=(x,y)\notin \{0\}\times\mathbb{N}$ alors

soit  $x\neq0~ et ~y\in\mathbb{N},$ soit $x=0~ et~ y\notin \mathbb{N}$, soit $x\neq 0~ et ~ y\notin\mathbb{N}$

Mais je n'arrive pas a terminer

Merci

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#2 14-11-2017 17:58:58

Roro
Membre
Inscription : 07-10-2007
Messages : 563

Re : Exercice de topologie dans R2

Bonsoir,

Est ce que tu peux me dire le lien de ta première phrase (définition de $\Omega_r$) avec les questions 1, 2 et 3 ?
Autre question : quelle est la topologie que tu utilises ?
Et une dernière, tu prends l'adhérence dans quel ensemble ?

Sinon, si j'imagine que tu est dans $\mathbb R^2$ avec la topologie "usuelle", tu devrais essayer de montrer que tes ensembles sont fermés (donc égaux à leur adhérence). Vois-tu ce que je veux dire ?

Roro.

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#3 14-11-2017 18:05:42

convergence
Membre
Inscription : 16-12-2015
Messages : 100

Re : Exercice de topologie dans R2

Je travaille avec la topologie $\sigma$ su $\mathbb{R}^2$ , $\sigma$ est définie par toute les réunions des ensembles $\Omega_r$ ainsi que l'ensemble vide.

je cherche l’adhérence des ensembles $\{0\}\times\mathbb{N}, \Delta$ et $A$

Merci

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#4 14-11-2017 20:31:05

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 701

Re : Exercice de topologie dans R2

Bonjour,

  Voici comment je m'y prendrais, au moins pour la première question.
Prenons $(x,y)\in\mathbb R^2$. Il faut savoir s'il existe un ouvert $U$ tel que $U\in (x,y)$ et $U\cap \{0\}\times\mathbb N=\varnothing$.
Si $x^2+y^2=r^2$ n'est pas le carré d'un entier, alors l'ouvert $\Omega_r$ convient, et donc $(x,y)$ n'est pas dans l'adhérence de $\{0\}\times N$. En revanche, si $x^2+y^2=n^2$ est le carré d'un entier, alors tout ouvert qui contient $(x,y)$ contient $\Omega_n$, et cet ouvert contient aussi $(0,n)$. Ainsi, $(x,y)$ est dans l'adhérence de $\{0\}\times\mathbb N$.
Au final, l'adhérence de ton ensemble consiste en tous les cercles de centre $O$ et de rayon un entier.

La méthode est similaire pour les autres exemples.

F.

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#5 15-11-2017 08:10:12

convergence
Membre
Inscription : 16-12-2015
Messages : 100

Re : Exercice de topologie dans R2

Le message n'est pas claire, je pense qu'il ya un dollar oublié ou en plus

Merci

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#6 15-11-2017 08:34:52

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 701

Re : Exercice de topologie dans R2

J'ai corrigé.

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