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#1 14-11-2017 22:01:31

bib
Membre
Inscription : 23-09-2017
Messages : 187

Calcul de dérivées

Bonjour,
j'ai l'exercice suivant:
1. On considère la fonction $f(x)=|x|$.
Calculer $f'$ et $f''$ au sens des distributions.
2. On considère les fonctions $h_1(x)= |x| \cos(x)$ et $h_2(x)= |x| \sin(x)$.
a- Montrer que $h_1$ et $h_2$ définissent des distributions sur $\mathbb{R}$.
b- calculer $h'_1, h_1'', h_2', h_2''$.
Voici ce que j'ai fait, dites moi s'il vous plaît si tout est bon.
1. On considère $f(x)=|x|$
on a
$$
f(x)=
\begin{cases}
x &: x \in ]0,+\infty[\\
-x &: x \in ]-\infty,0[
\end{cases}
$$
$\bullet$ calcul de $(T_f)'$: on remarque que $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ (elle n'a pas de sauts), donc $(T_f)'=T_{f'}$ avec
$$
f'(x)
=
\begin{cases}
1 &: x \in ]0,+\infty[\\
-1 &: x \in ]-\infty,0[
\end{cases}
$$
$\bullet$ calcul de $(T_f)''$. On a $(T_f)''=(T_{f'})'.$ On remarque que $f'$ admet un saut au point 0, et on a $\sigma_0= \lim_{x \to 0^+} f'(x)- \lim_{x \to 0^-} f'(x)=2.$ Donc
$$
(T_f)''= T_{f''}+ 2 \delta= 2\delta
$$
car $f''=0$ donc $T_{f''}=0$.

2. On considère $h_1(x)= |x| \sin x$ et $h_2(x)= |x| \cos(x)$. Les deux fonctions sont $L^1_{loc}$, elle définissent donc des distibutions sur $\mathbb{R}$ données par:
$$
\forall \varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}): <|x| \sin x, \varphi>= \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} |x| \sin(x) dx
$$
et
$$
\forall \varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}): <|x| \cos, \varphi>= \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} |x| \cos(x) dx
$$
$\bullet$ calcul de $(T_{h_1})'$. On a
$$
h_1(x)=
\begin{cases}
x \cos(x) &: x >0\\
-x \cos x &: x < 0
\end{cases}
$$
on remarque que $h_1$ n'a pas de sauts, donc $(T_{h_1})'= T_{h'_1}$ avec
$$
h'_1(x)
=
\begin{cases}
\cos x - x \sin x &: x >0\\
-\cos x + x \sin (x) &: x < 0
\end{cases}
$$
$\bullet$ Calcul de $(T_{h_1})''$. On a $(T_{h_1})''= (T_{h_1'})'$. On remarque que $h_1'$ a un saut au point $0$, et que $\lim_{x \to 0^+} h'_1(x)= 1$ et $\lim_{x \to 0^-} h_1'(x)= -1$, donc
$$
(T_{h_1})''= T_{h_1''}+2 \delta
$$
où $h_1''$ est donnée par
$$
h_1''(x)=
\begin{cases}
-1 \sin x - x \cos x &:x >0\\
2 \sin(x) + x \cos(x) &: x < 0
\end{cases}
$$
$\bullet$ calcul de $(T_{h_2})'$. on a
$$
h_2(x)=
\begin{cases}
x \sin(x) &: x >0\\
-x \sin(x) &:x<0
\end{cases}
$$
On remarque que $h_2$ n'a pas de sauts, donc $(T_{h_2})'=T_{h_2'}$ où $h_2'$ est définie par
$$
h_2'(x)=
\begin{cases}
\sin x + x \cos x &:x >0\\
-\sin x - x \cos x &: x<0
\end{cases}
$$
$\bullet$ calcul de $(T_{h_2})''$. On remarque que $h_1'$ n'a pas de sauts, donc $(T_{h_2})''= T_{h_2''}$ où $h_2''$ est donnée par
$$
h_2''(x)=
\begin{cases}
2 \cos(x) - x \sin(x) &: x >0\\
-2 \cos(x) + x \sin(x) &: x <0
\end{cases}
$$
Merci par avance pour votre aide.

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