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#1 13-11-2017 14:47:53

bib
Membre
Inscription : 23-09-2017
Messages : 187

(log|x|)'

Bojour,
il y a un point que je ne comprend pas dans le calcul de $(\log|x|)'$ au sens des distributions.
On sait que
$$
<(\log|x|)',\varphi>= - \lim_{\epsilon \to 0} (\displaystyle\int_{-a}^{-\epsilon} \log(-x) \varphi'(x) dx + \displaystyle\int_{\epsilon}^a \log(x) \varphi(x) dx
$$
donc par ipp on trouve que
$$
<(\log|x|)',\varphi>= - \lim_{\epsilon \to 0} [\log(\epsilon).\varphi(-\epsilon)-\log(\epsilon).\varphi(\epsilon)] + \lim_{\epsilon \to 0} [\displaystyle\int_{-a}^{-\epsilon} \dfrac{\varphi(x)}{x} dx + \displaystyle\int_{\epsilon}^a \dfrac{\varphi(x)}{x} dx.
$$
Ma question est comment le terme $- \lim_{\epsilon \to 0} [\log(\epsilon).\varphi(-\epsilon)-\log(\epsilon).\varphi(\epsilon)] $ disparaît?
Merci par avance pour votre aide.

Hors ligne

#2 13-11-2017 15:23:21

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 701

Re : (log|x|)'

Utilise un développement limité de  $ \varphi $ en 0.

Hors ligne

#3 13-11-2017 15:33:03

bib
Membre
Inscription : 23-09-2017
Messages : 187

Re : (log|x|)'

C'est bien compris! Ainsi on obtient $|\varphi(\epsilon)-\varphi(-\epsilon)| \leq C \epsilon$ qui tend vers 0. Merci beaucoup

Hors ligne

#4 13-11-2017 15:35:38

bib
Membre
Inscription : 23-09-2017
Messages : 187

Re : (log|x|)'

J'ai une dernière question s'il vous plaît. Comment expliquer le fait que $\log|x|$ ne soit pas défini en $x=0$ mais il est $L^1$ sur $\mathbb{R}$? J'ai lu et j'ai compris que ça a une relation avec le fait que $L^1$ est une classe d'équivalence et qu'on peut donner n'importe quelle valeur à $\log(0)$ mais je n'ai pas compris le lien entre tout ça. Pourquoi on peut donner n'importe quelle valeur à $\log(0)$?
Merci par avance pour votre aide.

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#5 14-11-2017 10:37:46

Yassine
Membre
Inscription : 09-04-2013
Messages : 975

Re : (log|x|)'

Bonjour,
Deux éléments de réponse :
1) Parce que l'intégrale de Lebesgue d'une fonction est inchangée si on change sa valeur sur un ensemble de point de mesure nulle
2) Et parce qu'en effet, $L^1_{loc}$ est un ensemble quotient : deux fonctions que ne différent que sur un ensemble de mesure nulle appartiennent à la même classe d'équivalence. Si je prends la fonction $f \in \mathcal{L}^1(\mathbb{R})$ définie par $\forall x \neq 0,\ f(x) = \log(|x|),\ f(0)=0$, et la fonction $g \in \mathcal{L}^1(\mathbb{R})$ définie par $\forall x \neq 0,\ g(x) = \log(|x|),\ g(0)=1$, alors, $f \neq g$ et pour autant $\bar{f}=\bar{g}$ dans $L^1_{loc}(\mathbb{R})$ et on convient de noter cette classe d'équivalence $\log(|x|)$.

Quotienter un ensemble revient à changer de lunette pour regarder les éléments de cet ensemble. Considérer un élément de $L^1_{loc}$, c'est accepter de ne s'intéresser qu'au comportement sur des voisinage d'un point (plus exactement, sur des ensemble de mesure non nulle contenant ce point) et d'oublier la valeur en ce point.

Dernière modification par Yassine (14-11-2017 10:38:56)


L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel

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