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#1 13-11-2017 01:16:37

Ryosuke
Membre
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Théorie de la décision : Notion de loterie composée

Bonjour , s'il vous plait j'aimerais que vous m'orienter. Voici un exercice que j'essaye de résoudre
Enoncé
Soient deux loteries p=(10,2/3;20,1/3) et q=(10,1/3;20,1/2;30,1/6). Construire q comme une loterie composée avec deux résultats, la loterie p et une loterie r.
Tentative de résolution
Dans cet exercice, il s'agit de la notion de loterie composée . Ce qu'il y a à savoir c'est qu'il y a une propriété qui stipule que si 3 loteries p , q , r , sont classées ainsi: p>q>r, alors il existe α ∈[0 1], tel que : q=αp+(1-α)r. Autrement dit , les loteries simples p et r peuvent être réduite à une loterie composée q telle que: q=(p,α;r,1-α).
Ainsi , comme l'indique notre énoncé , la démarche consiste à exprimer q qui est connu en fonction de p qui l'est aussi ,et une loterie inconnue r en utilisant la propriété q=αp+(1-α)r, ce qui devra nous donner q=(p,α;r,1-α). Donc le véritable but de l'exercice consiste à déterminer α et r à partir des informations que nous avons.
Bien pour cela , on définit d'abord une loterie comme une liste de distribution de conséquences ou valeurs attachée à
une distribution de probabilités . Par exemple , si je définis L=(15, 1/4; 20,3/4) comme étant une loterie, alors 15 et 20 représentent
les conséquences possibles et 1/4 et 3/4 représentent respectivement les probabilités des réalisation de ces conséquences.Nous remarquons aussi que la somme des probabilités associées à ces conséquences est égale à 1 (1/4+3/4).Cette propriété se vérifie dans toute loterie.
Maintenant qu'on a définit ce qu'est une loterie, nous savons désormais que pour notre loterie r nous devons déterminer d'une part ses valeurs et de l'autre les probabilités associées à ces valeurs. Or on sait que la loterie q a 3 valeurs à savoir:10,20,30 et la loterie p en a 2 à savoir :10,20. Questions intermédiaires. Combien de valeur aura la loterie r ? En sachant que la loterie p a 2 valeurs , on peut se dire que la loterie r en aura aussi 2. En admettant que ce sois le cas , comment déterminer ces valeurs ? Oui nous savons qu'une loterie composée est une combinaison de loterie simple.Partant de là , on sait que les valeurs de r sont forcément parmi q. Donc peut être que c'est 10 et 20 ou 20 et 30 ou peut être encore 10 et 30 ....etc. Question non résolue ! Mais continuons ,penchons nous maintenant sur les probabilités associées à ses valeurs . Déjà nous savons que le nombre de probabilités est égale au nombre de valeurs associées à celles-ci. Donc si r a 2 valeurs alors il y aura 2 probabilités affectées à ces valeurs. Maintenant comment détermine t'on ces probabilités ? Aucune réponse. Comment détermine t'on α ? Je ne sais pas. Enfin, pourquoi ces questions et tout cet exposé ?C'est simple , c'est parce que en appliquant simplement la formule , je ne retrouve pas ce qu'on me demande . Asseyons:

                   q=αp+(1-α)r équivaut à: α(10,2/3;20,1/3)+(1-α)r=(10,1/3;20,1/2;30,1/6) donc je viens d'écrire αp+(1-α)r=q  . Par la suite , j'ose même dire sans justification  que r doit être une loterie du genre r=(x1,p1;x2,p2). Ce qui nous donne ça : α(10,2/3;20,1/3)+(1-α)(x1,p1;x2,p2)=(10,1/3;20,1/2;30,1/6). Quant à la résolution de cette équation , je n'ai aucune idée.

  Merci d'avance pour vos remarques

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#2 13-11-2017 10:47:46

freddy
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Re : Théorie de la décision : Notion de loterie composée

Salut,

je pense que tu commets une erreur de raisonnement : tu peux regarder la loterie $p$ comme suit (10,2/3 ; 20,1/3; 0, 0) et tu dois considérer que la loterie r inconnue est composée de 3 événements, sans quoi tu ne trouveras jamais la loterie $q$ comme combinaison linéaire de $p$ et $r$ !

je n'ai pas fait les calculs, ils ne semblent pas bien compliqués.


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#3 13-11-2017 16:35:18

Ryosuke
Membre
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Messages : 3

Re : Théorie de la décision : Notion de loterie composée

Bonjour freddy,

Tout d'abord merci pour ton intervention. En prenant en compte tes remarques voici où j'aboutie .

En posant p=(10,2/3 ; 20,1/3; 0, 0) et r=(x1,p1;x2,p2;x3,p3). On peut dire que q=αp+(1-α)r équivaut à :

       α(10,2/3 ; 20,1/3; 0, 0) +(1-α)(x1,p1;x2,p2;x3,p3)=(10,1/3;20,1/2;30,1/6)

   On dirait quelque chose qui ressemble à un système de 6 équations à 7 inconnues (x1,p1;x2,p2;x3,p3 et α). Toujours insoluble pour moi !

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#4 13-11-2017 17:22:51

freddy
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Messages : 6 141

Re : Théorie de la décision : Notion de loterie composée

Salut,

je pense qu'il faut être un peu imaginatif.

Je ne change rien en posant $p=(20,2/3;20,1/3;30,0)$ et donc par linéarité, j'ai $r=(10,p_1;20,p_2;30,p_3)$
Ensuite, rien ne m'interdit de poser $p_1=0$

Donc, il faut trouver $\alpha$, $p_2$ et $p_3$ tels que :
$\alpha\times \frac{2}{3} =\frac{1}{3}$
$\alpha\times \frac{1}{3}+(1-\alpha)\times p_2=\frac{1}{2}$
$(1-\alpha)\times p_3=\frac{1}{6}$

Je te laisse finir !

Dernière modification par freddy (13-11-2017 17:47:59)


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#5 13-11-2017 21:46:52

Ryosuke
Membre
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Re : Théorie de la décision : Notion de loterie composée

Merci beaucoup freddy . Avec le système que tu as beaucoup simplifié,la résolution devient évident. J'obtiens α=1/2 p2=2/3 et p2=1/3. Donc la loterie r=(10,0;20,2/3;30,1/3) ou r=(20,2/3;30,1/3). Ainsi , on peut dire que q=(p,1/2;r,1/2). S'il te plait , pourrais tu me dire comment tu t'y es pris ? C'est quoi le truc ? Qu'est ce qui te permet d'écrire que p=(10,2/3;20,1/3;0,0) ou
p=(10,2/3;20,1/3;30,0), je suppose aussi que tu pouvais poser p2=0 ou p3=0 ? Comment savoir que je peux me permettre de faire ceci , d'ajouter cela ou ne pas me le permettre. Et puis pour écrire r=(x1,p1;x2,p2;x3,p3), qu'est ce qui t'a guidé ? Tu l'as dis avec une quasi certitude tu dois considérer que la loterie r inconnue est composée de 3 événements, sans quoi tu ne trouveras jamais la loterie q comme combinaison linéaire de p et r !. D'où te viens cette certitude ? Et puis , après cette remarque pourquoi mon système d'équation semblait insoluble ? Et puis , dans ton dernier poste tu as utilisé une méthode un peu créative au lieu de résoudre le système tel quel. Et honnêtement , je n'ai rien compris dans cette méthode. Dans l'énoncé p=(10,2/3;20,1/3) mais tu l'as transformé en
p=(20,2/3;20,1/3;30,0)  ensuite tu en déduis que par linéarité r=(10,p1;20,p2;30,p3). Comment ? C'est quoi le principe ? Vraiment désolé d'un peu trop te questionner freddy. Si tu peux m'orienter vers un boquin ou des notions de maths me permettant de combler mes lacunes , j'en serais ravi. Je me suis inscrit hier sur ce forum , juste pour trouver une solution à cette exercice , qui pour certains semble une évidence. Cela fait déjà 4 jours que j'ai essayé de le résoudre.

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#6 14-11-2017 10:31:57

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
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Messages : 6 141

Re : Théorie de la décision : Notion de loterie composée

Salut,

c'est tout bêtement de l'algèbre linéaire, ton truc. Il se trouve en outre que je connais un peu la question.
Par contre, tu ne peux surtout pas poser $p_3=0$, sinon, ton problème n'a plus de sens. Et si tu poses $p_2=0$, tu concluras tout de suite que ce n'est pas réaliste.
Comment j'ai trouvé 30 ? Par linéarité, tout simplement.
En effet, selon les donnés de ton problème, tu dois avoir $\alpha\times 30 + (1-\alpha)\times X_3= 30$ ! Il n'y a pas 50 solutions :-)
Conseils : revoir un cours élémentaire d'algèbre linéaire et faire un peu preuve de pragmatisme et d'imagination sur ces questions (ton cours devrait t'y aider)!


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