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#26 09-11-2017 17:12:36

Fred
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Re : Dérivée dans D'

Dans ton exemple les sauts tendent vers 0 pas vers l'infini  !

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#27 09-11-2017 17:27:21

Yassine
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Re : Dérivée dans D'

Comme l'a dit Fred, la somme $\displaystyle \sum_{k\in\mathbb{Z}} \delta_{a_k}$ a un sens car, quand on l'applique à une fonction à support compact $\varphi$, l'ensemble des points où $\varphi(a_k) \neq 0$ sera fini et on aura en réalité une somme du type $\displaystyle \sum_{k\in I} \varphi(a_k)$ où $I$ est une partie finie de $\mathbb{Z}$, ce qui a un sens.
Le point important est qu'il n'y ait pas de compact $K$ contenant un nombre infini de points de discontinuité, parce que sinon, je peux toujours trouver une fonction test pour laquelle il n'y a pas de convergence (fonction valant $1$ sur le compact).
Il se trouve que cette condition est remplie dans le cas de points de discontinuité périodiques.

Comme je l'ai dit, si tu as une fonctions $f \in L^1_{loc}$ discontinue aux points $1/n$, tu ne pourra pas exprimer sa dérivée au sens des distributions à l'aide d'une combinaison de $\delta_{x_k}$.


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#28 09-11-2017 20:28:13

bib
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Re : Dérivée dans D'

J'ai bien compris pourquoi la série converge. Les points de discontinuité ne sont pas des points d'accumulations. Aucun voisinage de $a_k$ ne contient un nombre infini de points de discontinuité, par conséquent aucun compact ne peut en contenir et donc il y a convergence sure de la série.
Alors je m'excuse pour ma lenteur à comprendre ce point, mais j'ai encore une question:
1. En fait c'est le prof qui nous a dit qu'il peut y avoir un problème de convergence de la série si par exemple les sauts tendent vers 0 comme c'est le cas par exemple de 1/n, et que $\varphi=1$ au voisinage de 0.
Ma question est: ce cas veut dire que le support de $\varphi$ contient un nombre infini de discontinuité? Je ne comprend plus. Le cas du prof dit: si les discontinuités tendent vers0 et que $\varphi=1$ au voisinage de 0: ce cas est équivalent à dire qu'il y a un nombre infinie de discontinuité dans le support? Car vous avez toute de suite fait le lien avec ça, et pas moi.

2.Pourquoi est-ce que les sauts tendent vers 0? Ils sont de la forme $a_k=\pi/2+k \pi$

3. Vous dites qu'il n'y a pas un compact $K$ qui contient un nombre infini de discontinuité. Comment vous le démontré s'il vous plaît.
Merci par avance pour votre aide.

Dernière modification par bib (09-11-2017 21:59:14)

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#29 10-11-2017 08:45:42

Yassine
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Re : Dérivée dans D'

Bonjour,
J'ai du mal à suivre comprendre ce qui te pose problème.

On considère une fonction $f \in L^1_{loc}$ périodique avec des discontinuités aux points $2k\pi$ et on montre que la dérivée au sens des distributions peut s'exprimer presque comme la formule des sauts. La différence étant que dans la formule des sauts, la somme $\sum_{i=0}^N s_i\delta_{x_i}$ est finie alors que pour cet exercice, cette somme semble être infinie. Le "semble" est à dessein : La notation $\sum_{i\in\mathbb{Z}} s_i\delta_{x_i}$ ne représente pas une série de distributions qui convergerait vers une distribution, mais simplement un raccourci pour indiquer une somme qui sera toujours finie mais dont les bornes de l'indice $i$ vont dépendre de la fonction test à laquelle  elle est appliquée. Si je l'applique à une fonction test dont le support est inclut dans $[-1,1]$, alors la somme ne contiendra qu'un seul terme $i=0$, et si je l'applique à une fonction test dont le support est inclut dans $[2\pi, 10\pi]$, alors la somme aura 9 termes $i=2...10$. C'est ce point qui exige que le support ne contienne qu'un nombre fini de discontinuités, de manière à toujours avoir une somme finie.

Si maintenant on considère une fonction $g \in L^1_{loc}$ qui est discontinue aux points $\frac{1}{n}$, alors la méthode déroulée ici n'est plus applicable. La dérivée de $g$ est alors simplement donnée par sa définition $\langle T'_g, \varphi\rangle := -\langle T_g, \varphi'\rangle$.


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#30 10-11-2017 09:35:17

bib
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Re : Dérivée dans D'

Ce que je e comprend pas c'est les deux points suivants:
1. Comment on montre que tout compact e contient qu'un nombre fini de discontinuité? On a vu ça par deux exemples que vous avez donné, mais je cherche une preuve générale qui le montre.
2.Pourquoi si les discontinuités sont $1/n$ alors on ne peux plus utiliser les sauts?
Merci par avance pour votre aide.

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#31 10-11-2017 10:00:06

Yassine
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Re : Dérivée dans D'

1- Est-ce que tu peux montrer cette petite propriété : $\forall K$ compact de $\mathbb{R}$, $Card(K \cap \alpha\mathbb{Z}) < \infty$ (où $\alpha$ est un réel quelconque) ?

2- la formule des sauts requiert que le nombre de discontinuité soit fini.


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#32 10-11-2017 12:19:09

bib
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Re : Dérivée dans D'

1. Non je viens d'y passer des heures et ça me dépasse. J'ai fait ce genre de preuves il y a longtemps et maintenant je ne m'en souviens plus et je ne trouve pas de support pour voir la façon de faire. Une méthode logique et simple? S'il vous plaît
2. Pourquoi est-ce que le fait que les discontinuités soient de la forme $1/n$ implique que leur nombre n'est pas fini? S'il vous plaît.

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#33 10-11-2017 13:01:24

Yassine
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Re : Dérivée dans D'

1- Essaie de le faire dans l'autre sens : si $K \cap \alpha\mathbb{Z}$ est infini, alors $K$ n'est pas borné, et donc $K$ n'est pas compact

2- C'est toi qui soulevait l'exemple de discontinuités qui tendraient vers $0$. J'en ai implicitement déduit qu'il s'agissait d'un ensemble infini de discontinuités. Si maintenant ces discontinuités sont de la forme $\dfrac{1}{n}$ pour $n \in I$ avec $I$ fini, alors la formule des sauts s'applique (elle se fiche pas mal de savoir que les points de discontinuités soient de la forme $1/n$ ou $sin(e^n))$, il faut juste que leur nombre soit fini).


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#34 10-11-2017 18:57:20

bib
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Re : Dérivée dans D'

Alors voici ce que je propose. si $K \cap \alpha \mathbb{Z}$ est infini, plus le fait que $K \cap \mathbb{Z} \subset K$, cela implique que $K$ est infini, donc non borné ce qui est une contradiction. Mais je sens qu'il faut ajouter quelque chose propre à $\alpha \mathbb{Z}$, je ne sais pas quoi.

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#35 10-11-2017 20:41:30

Yassine
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Re : Dérivée dans D'

Non, ce n'est pas bon. Infini ne veut pas dire non borné. l'intervalle $[0,1]$ est infini et est pourtant borné.
Si le $\alpha$ te perturbe, tu peux l'oublier dans un premier temps.


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#36 10-11-2017 21:17:29

bib
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Re : Dérivée dans D'

$K \cap \alpha \Z \subset K$, donc $K$ est infini, et d'un autre côté, les points de discontinuité ne sont pas d'accumulation. Et le théorème de Bolzano dit que toute partie infini et borné admet un point d'accumulation. Donc $K$ n'est pas borné.
Si ce n'est pas ça alors pouvez vous me donner les grandes lignes de la preuve, je ne trouve pas de support pour m'inspirer et ma tête est vide

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#37 11-11-2017 09:17:53

Yassine
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Re : Dérivée dans D'

Bonjour,
Je ne vois pas d'ou viennent les discontinuités dont tu parles.
La démarche est similaire à ce que tu dis, mais en plus simple : toute partie infinie de $\alpha\mathbb{Z}$ est non bornée (pour $\alpha \neq 0$, si elle était bornée, par un certain $M$, elle serait incluse dans $\{-M, -M+\alpha, -M+2\alpha,...,M\}$ qui est une partie finie. Pour $\alpha=0$, $\alpha\mathbb{Z}=\{0\}$).


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#38 11-11-2017 09:52:04

bib
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Re : Dérivée dans D'

Bonjour,
ah ok, en fait c'est aussi simple que ça. J'ai toujours tendance à croire que les choses sont compliquées. Merci beaucoup.
Pour le calcul de $f''$ s'il vous plaît. On a trouvé que $f'$ est donnée par
$$
<f',\varphi>= \sum_{k \in \mathbb{Z}}(\displaystyle\int_{a_{2k}}^{a_{2k+1}} \sin(x) \varphi(x) dx - \displaystyle\int_{a_{2k+1}}^{a_{2k+2}} \sin(x)\varphi(x) dx)
$$
Je souhaite calculer $f''$. J'ai fait de manière classique, et voici ce qu'on obtient:
$$
<f'',\varphi>=-<f',\varphi'>= \sum_{k \in \mathbb{Z}}(-2 \sin(a_{2k+1}).\varphi (a_{2k+1})+ \sin(a_{2k}).\varphi (a_{2k})- \sin(a_{2k+2}).\varphi (a_{2k+2})-\displaystyle\int_{a_{2k}}^{a_{2k+1}} \cos(x) \varphi(x) dx + \displaystyle\int_{a_{2k+1}}^{a_{2k+2}} \cos(x) \varphi(x) dx
$$
Mais je trouve ce résultat louche. On ne devrait pas trouver des dirac seulement aux points $a_{k}$ et pas aux points $a_{2k}$ et $a_{2k+1}$ et $a_{2k+2}$? Aussi je me rend compte que je ne sais pas appliquer la formule des sauts directement. Pouvez vous m'aider? S'il vous plaît.

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#39 11-11-2017 11:36:49

aviateur
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Re : Dérivée dans D'

Bonjour
Je ne vais pas m'amuser à lire tous les posts précédents et ma réponse est donc peut être déplacée.
Mais pour moi la dérivée de |cos(x)|  et |sin(x)| et je suis étonné de toute la littérature qui suit la question.

Non je corrige  la dérivé c'est  la fonction -sin(x) (quand cos(x) est > 0)   et    sin(x)  (quand cos (x) <0)   

Dernière modification par aviateur (11-11-2017 18:08:10)

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#40 11-11-2017 12:25:39

bib
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Re : Dérivée dans D'

aviateur: on cherche les dérivées dans $\mathcal{D}'(\mathbb{R})$, ce n'est donc pas pareil que dans $\mathbb{R}$ s'il y a des discontinuités.
Sinon merci de m'aider pour ma dernière question du post #38 s'il vous plaît.

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#41 11-11-2017 17:55:53

aviateur
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Re : Dérivée dans D'

Rebonjour, Non Bib tu te trompes, j'ai très bien compris la question (il s'agit de la dérivée au sens des distributions.)

Et j'ai vu que la solution était donné dans ton  premier post (voir ci dessous).

Bib a écrit :

. Par contre elle est continue sur tout R donc elle n'admet pas de sauts. Ainsi, (Tf)′=Tf′, mais comment calculer f′? S'il vous plaît.

Ce résultat est bien connu et c'est pourquoi (|sin(x)|)'= (cf ma correction dans mon premier post)  au sens des distributions.   

Souvent on illustre l'application de cette propriété à la fonction valeur absolue.

soit f(x)=|x|  alors   g(x)=-1  si x<0  et g(x)=+1 si x>=0. 

Alors f'=g (dist.) 

Par contre
[tex]
f''=g'=2\delta_0[/tex]

Dernière modification par aviateur (11-11-2017 18:09:25)

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#42 11-11-2017 18:03:59

bib
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Re : Dérivée dans D'

moi j'ai calculer f', pas de problème. Je cherche à calculer f''. J'ai posté ce que j'ai fait dans le post 38. Comment on calcule f''? S'il vous plaît.

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#43 11-11-2017 18:19:59

aviateur
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Re : Dérivée dans D'

Rebonjour
J'ai corrigé la dérivée mais ma remarque ne change pas.

D'abord je rappelle que la dérivée de |cos(x)| c'est donc la fonction g(x)=-signe(cos(x))  sin(x)

Donc g'' (au sens classique)= -signe(cos(x))  cos(x)

De plus g est discontinue en les points [tex]x_k=\pi/2+k\pi,k\in Z[/tex] avec un saut de -2.

On a donc[tex] g''(x)= -signe(cos(x))  cos(x)-2\sum_{k\in Z}\delta_{\pi/2+k\pi}
[/tex]

c[tex] g''(x)= -signe(cos(x))  cos(x)-2\sum_{k\in Z}\delta_{\pi/2+k\pi}
[/tex]

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#44 11-11-2017 20:37:24

bib
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Re : Dérivée dans D'

Mais pourquoi je n'obtient pas la même chose si je calcul en utilisant la définition?
On a
$$
<f',\varphi>=\sum_{k \in \mathbb{Z}} (\displaystyle\int_{a_{2k}}^{a_{2k+1}} \sin(x) \varphi(x) dx - \displaystyle\int_{a_{2k+1}}^{a_{2k+2}} \sin(x) \varphi(x) dx)
$$
donc
$$
<f'',\varphi>=-<f',\varphi'>= - \sum_{k \in \mathbb{Z}} (\displaystyle\int_{a_{2k}}^{a_{2k+1}} \sin(x) \varphi'(x) dx - \displaystyle\int_{a_{2k+1}}^{a_{2k+2}} \sin(x) \varphi'(x) dx)
$$
puis par ipp on trouve que
$$
\displaystyle\int_{a_{2k}}^{a_{2k+1}} \sin(x) \varphi'(x) dx = \sin(a_{2k+1}) \varphi (a_{2k+1}) - \sin(a_{2k}) \varphi(a_{2k}) - \displaystyle\int_{a_{2k}}^{a_{2k+1}} \cos(x) \varphi(x) dx.
$$
et on fait pareil pour l'autre intégrale, on retrouve le résultat du post 38.
Pourquoi on ne trouve pas les Dirac en les points de discontinuités $a_k$? Où est le problème? S'il vous plaît.

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#45 11-11-2017 21:58:37

aviateur
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Re : Dérivée dans D'

Je suppose que a_k=k \pi+Pi/2?
Les termes en les a_k ne s'annulent pas car  sin(a_k)=cos(kpi)=(-1)^k donc l y a bien des dirac

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#46 11-11-2017 22:03:59

bib
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Re : Dérivée dans D'

Oui $a_k=\pi/2+k\pi$.
S'il vous plaît,
1.alors la formule que j'obtiens dans mon post 38 est correcte?
2. comment vous repérer les points de discontinuités? S'il vous plaît. J'avais compris mais d'un coup je me suis mise à douter. Comment vous repérer les sauts?
3. Surtout que chez moi, les sauts sont les points $a_{2k}, a_{2k+1}$ et $a_{2k+2}$ et vous en appliquant la formule des sauts vous avez trouvé les sauts aux points $a_k$. Je ne comprend pas cette différence.
Merci par avance pour votre aide pour éclaircir ces trois points.

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#47 11-11-2017 22:30:08

aviateur
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Re : Dérivée dans D'

La formule 38 me semble correcte, encore que je n'ai pas vérifié les détails (i.e les signes.)
mais elle est maladroite : en effet les termes a_k  d'indice impairs sont regroupés (on voit donc un  facteur 2) qui est correct (au signe près)
mais le  terme en a_{2k+2} va se regrouper avec le terme a{2(k+1)}  qui est dans le terme suivant.

Normalement à la fin on doit avoir -2f(a_k) pour tout k.

Personnellement j'aurai écrit que f(x)=(-1)^{k+1} cos(x) sur [a_k,a_k+1]  (la parité n'intervient que dans l'exposant de(-1)

f' un peut  la même chose et puis regrouper le terme de bord \phi(a_{a_{j+1} } avec le suivant.

Dernière modification par aviateur (11-11-2017 22:30:48)

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#48 12-11-2017 06:11:24

Bibib
Invité

Re : Dérivée dans D'

Bonjour,
C’est le regroupement qui m’interesse. Comment on regroupe ces termes? Please.

#49 12-11-2017 13:15:47

bib
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Re : Dérivée dans D'

Bonjour,
s'il vous plaît, pour finir ce topic, si on calcule $f''$ en utilisant l'ipp, on trouve ceci:
$<f'',\varphi>=\sum_{k \in \mathbb{Z}}(-2 \sin(a_{2k+1}).\varphi(a_{2k+1})+ \sin(a_{2k}).\varphi (a_{2k}) + \sin(a_{2k+2}).\varphi (a_{2k+2})+\displaystyle\int_{a_{2k}}^{a_{2k+1}} \cos(x) \varphi(x) dx - \displaystyle\int_{a_{2k+1}}^{a_{2k+2}} \cos(x) \varphi(x) dx
$
La question est comment regrouper les termes pour avoir le bon résultat?
Merci par avance pour votre aide.

Dernière modification par bib (12-11-2017 20:13:42)

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