Bibm@th

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bienvenue dans les forums du site BibM@th, des forums où on dit Bonjour (Bonsoir), Merci, S'il vous plaît...

Vous n'êtes pas identifié(e).

#1 05-11-2017 17:45:51

bib
Membre
Inscription : 23-09-2017
Messages : 187

Dérivée dans D'

Bonjour,
soit $f$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=|\cos(x)|$. Je cherche à calculer la dérivée de $f$ au sens des distributions.
Alors voilà, puisque $f \in L^1(\mathbb{R})$, alors elle définie une distribution $T_f$ donnée par
$$
\forall \varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}): <T_f,\varphi>= \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} |\cos(x)| \varphi(x) dx.
$$
$|\cos(x)|$ n'est pas de classe $C^1$ elle n'est pas dérivables aux points $x$ où $\cos(x)=0$ donc elle n'est pas dérivable aux points $a_k=\dfrac{\pi}{2}+k\pi, k \in \mathbb{Z}$. Par contre elle est continue sur tout $\mathbb{R}$ donc elle n'admet pas de sauts. Ainsi, $(T_f)'=T_{f'}$, mais comment calculer $f'$? S'il vous plaît.

Dernière modification par bib (05-11-2017 18:14:27)

Hors ligne

#2 05-11-2017 19:21:03

bib
Membre
Inscription : 23-09-2017
Messages : 187

Re : Dérivée dans D'

Alors la question est de calculer la dérivée au sens des distributions de la fonction $f(x)= |\cos(x)|$ qui est définie sur $\mathbb{R}$. Donc en premier en remarque que $f \in L^1(\mathbb{R})$, donc elle définie une distribution $T_f$, et en second on remarque que $f$ est continue sur tout $\mathbb{R}$, il n'y a pas de sauts, donc $(T_f)'= T_{f'}$.
Si on était sur l'intérvalle $]-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{3 \pi}{2}[$, alors il est clair que la distribution définie par $f$ est
$$
\forall \varphi \in \mathcal{D}(]-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{3 \pi}{2}[):
<T_f,\varphi>= \displaystyle\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos(x) \varphi(x) dx - \displaystyle\int_{\pi/2}^{3 \pi/2} \cos(x) \varphi(x) dx
$$
Ma question est: comment utiliser le fait que $f$ soit de période $\pi$ pour définir $T_f$ sout tout $\mathbb{R}$? S'il vous plaît. Aidez moi s'il vous plaît.

Dernière modification par bib (05-11-2017 19:21:45)

Hors ligne

#3 05-11-2017 19:47:52

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 707

Re : Dérivée dans D'

Il faut que tu enlèves la valeur absolue. La question est donc : sur quels intervalles a-t-on $f(x)=\cos x$ et sur quels intervalles a-t-on $f(x)=-\cos x$. Sur les intervalles où $f(x)=\cos x$, on a $f'(x)=-\sin x$ et sur les intervalles où $f(x)=-\cos x$, on a $f'(x)=\sin x$.

F.

Hors ligne

#4 05-11-2017 19:54:35

bib
Membre
Inscription : 23-09-2017
Messages : 187

Re : Dérivée dans D'

Oui, si on était sur l'intervalle $]- \pi/2, 3 \pi/2[$ alors c'est simple, on a $|\cos(x)|= \cos(x)$ sur $]- \pi/2, \pi/2[$ et $|\cos(x)|= - \cos(x)$ sur $]\pi/2,2 \pi/2[$ mais comment généraliser pour tout $x \in \R$? S'il vous plaît.

Hors ligne

#5 05-11-2017 20:25:51

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 707

Re : Dérivée dans D'

Puisque ta fonction est $\pi$-périodique, c'est la même formule pour tous les intervalles $]-\pi/2+k\pi,\pi/2+k\pi[$...

Hors ligne

#6 05-11-2017 20:45:53

bib
Membre
Inscription : 23-09-2017
Messages : 187

Re : Dérivée dans D'

Moi j'ai pensé à ca: on note $a_k= \pi/2+k \pi$ où $k \in \mathbb{Z}$, et on a
$$
<f,\varphi> = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} (\displaystyle\int_{a_{2k}}^{a_{2k+1}} - \cos(x) \varphi(x) dx +\displaystyle\int_{a_{2k+1}}^{a_{2k+2}} \cos(x) \varphi(x) dx)
$$
Donc
$$
<f',\varphi>=  \sum_{k=-\infty}^{+\infty} (\displaystyle\int_{a_{2k}}^{a_{2k+1}} - \cos(x) \varphi'(x) dx +\displaystyle\int_{a_{2k+1}}^{a_{2k+2}} \cos(x) \varphi'(x) dx)
$$
et on fait une ipp sur chaque intégrale.
Vous avez une solution plus simple? S'il vous plaît.

Dernière modification par bib (05-11-2017 20:46:10)

Hors ligne

#7 05-11-2017 22:27:54

bib
Membre
Inscription : 23-09-2017
Messages : 187

Re : Dérivée dans D'

J'ai une autre question s'il vous plaît. On considère la fonction $g$ définie de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$, $2 \pi$ périodique telle que $g(x)=x$ pour tout $x \in [0,2 \pi[$. Je cherche à calculer $g'$ au sens des distributions. Alors on commence par remarquer que $g$ est de classe $C^1$ par morceaux, mais elle a des sauts aux points $2 k \pi$ et $2(k+1)\pi[$

Maintenant, $g$ est périodique sur $\mathbb{R}$ de periode $2 \pi$. Puisqu'elle est $L^1_{loc}$ elle définie la distribution
$$
<g,\varphi>= \sum_{k \in \mathbb{Z}} \displaystyle\int_{2 k \pi}^{2(k+1)\pi} g(x) \varphi(x) dx.
$$
Donc
$$
<g',\varphi>=-<g,\varphi'>= - \displaystyle\int_{2 k \pi}^{2(k+1)\pi} g(x) \varphi'(x) dx= - \displaystyle\int_{2 k \pi}^{2(k+1)\pi} x \varphi(x) dx
$$
on calcule $ \displaystyle\int_{2 k \pi}^{2(k+1)\pi} x \varphi(x) dx$ par ipp, et on a
$$
\displaystyle\int_{2 k \pi}^{2(k+1)\pi} x \varphi(x) dx= [x \varphi(x)]_{2k\pi}^{2(k+1)\pi} -\displaystyle\int_{2k \pi}^{2(k+1)\pi} \varphi(x) dx.
$$
Mais puisque $g$ est periodique alors $g(2 k \pi)= g(2(k+1)\pi)=0$ mais ça me fait bizarre d'écrire que ça implique que $[x \varphi(x)]_{2k\pi}^{2(k+1)\pi} \neq 0$ vu que $g$ est nulle en ces deux points. Je suis perturbée par ce point.

Dernière modification par bib (05-11-2017 22:30:24)

Hors ligne

#8 06-11-2017 08:05:58

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 707

Re : Dérivée dans D'

On n'a pas $g(x)=x$ sur $[2k\pi,2(k+1)\pi[$ mais $g(x)=x-2k\pi$!!!!!

Ensuite, quand tu calcules l'intégrale entre $2k\pi$ et $2(k+1)\pi$, fais comme si tu calculais l'intégrale entre $2k\pi+\epsilon$ et $2(k+1)\pi-\epsilon$ et fait tendre $\epsilon$ vers 0.

Hors ligne

#9 06-11-2017 09:31:53

Yassine
Membre
Inscription : 09-04-2013
Messages : 979

Re : Dérivée dans D'

Bonjour,
Il n'y a pas que $g$ qui soit périodique, les questions de bib (alias tina) le sont également : voir ici, discussion quasi-identique !


L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel

Hors ligne

#10 06-11-2017 13:57:56

bib
Membre
Inscription : 23-09-2017
Messages : 187

Re : Dérivée dans D'

Oui Yassine, j'ai trouvé ces exercices sur le phorum, mais le fil était farfellu donc je n'avais pas bien compris, je le refais. Merci beaucoup pour l'aide.

Hors ligne

#11 06-11-2017 18:30:10

bib
Membre
Inscription : 23-09-2017
Messages : 187

Re : Dérivée dans D'

une fonction $ \pi$ périodique veut dire que $g(x+ 2 \pi)= g(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$, avec le fait que $g(x)=x$ pour tout $x \in [0,2\pi[$ comment combiner ces deux informations pour montrer que $(g)=x-2 k \pi$ sur $[2k\pi, 2(k+1)\pi[$? S'il vous plaît

Dernière modification par bib (06-11-2017 18:36:10)

Hors ligne

#12 06-11-2017 19:17:58

Yassine
Membre
Inscription : 09-04-2013
Messages : 979

Re : Dérivée dans D'

Bonsoir,
La notion de distribution fait partie des sujets avancés qui supposent un bagage mathématique solide.
Il est donc inhabituel de voir quelqu'un aborder ce sujet et galérer sur des notions de base.

Si tu prends $x \in \mathbb{R}$, alors, il existe un unique $k \in \mathbb{Z}$ tel que $2k\pi \le x < 2(k+1)\pi$ (c'est la partie entière de $\dfrac{x}{2\pi}$). En retranchant $2k\pi$ à cette inégalité, on a alors $0 \le x - 2k\pi < 2\pi$ et je pose $y=x - 2k\pi$. Donc $y \in [0,2\pi[$, je sais donc calculer $g(y)$ : $g(y)=y$.
Maintenant, $g$ est périodique, donc $g(y+2k\pi)=g(y)=y$. En remettant $x$ dans cette égalité, on trouve $g(x)=x - 2k\pi$


L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel

Hors ligne

#13 06-11-2017 19:23:58

bib
Membre
Inscription : 23-09-2017
Messages : 187

Re : Dérivée dans D'

Merci beaucoup Yassine j'ai toujours eu du mal avec les fonctions périodiques. Est-ce que c'est simple de voir ça avec un dessin?Si oui pouvez vous m'envoyer le dessin qui montre ça je vous prie

Hors ligne

#14 06-11-2017 19:59:09

Yassine
Membre
Inscription : 09-04-2013
Messages : 979

Re : Dérivée dans D'

Je ne sais pas si c'est plus facile à "voire". Mais c'est facile à dessiner et tu devrais faire l'effort de le faire.


L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel

Hors ligne

#15 06-11-2017 20:07:06

bib
Membre
Inscription : 23-09-2017
Messages : 187

Re : Dérivée dans D'

Ok, c'est reglé pour la periodicité.
Pour le calcul de $g'$, j'obtient ceci:
$$
<g',\varphi>=-<g',\varphi'>= -\sum_{k \in \mathbb{Z}} \displaystyle\int_{2 k \pi}^{2(k+1)\pi} (x-2k\pi) \varphi'(x) dx.
$$
en appliquant l'ipp, on a
$$
\displaystyle\int_{2k\pi}^{2(k+1)\pi} (x-2k\pi) \varphi'(x) dx= [(x-2k\pi)\varphi(x)]_{2k\pi}^{2(k+1)\pi}-\displaystyle\int_{2k\pi}^{2(k+1)\pi} \varphi(x) dx= 2 \pi \varphi(2(k+1)\pi)-\displaystyle\int_{2k\pi}^{2(k+1)\pi} \varphi(x) dx
$$
donc
$$
<g',\varphi>=-(2\pi) \varphi(2(k+1)\pi)+\displaystyle\int_{2k\pi}^{2(k+1)\pi} \varphi(x) dx
$$
mais il me semble que ce n'est pas le même résultat obtenu dans l'ancien fil. Comment savoir si mon résultat est bon? S'il vous plaît.

Hors ligne

#16 06-11-2017 20:42:48

Yassine
Membre
Inscription : 09-04-2013
Messages : 979

Re : Dérivée dans D'

Nope, je ne reboucle pas. Relis le fil en question.


L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel

Hors ligne

#17 06-11-2017 20:50:08

bib
Membre
Inscription : 23-09-2017
Messages : 187

Re : Dérivée dans D'

Ah ok je n'avais pas vu qu'il y avait trois pages! C'est ok on a trouvé pareil! Juste une question, moi j'ai mis la somme sur $k \in \mathbb{Z}$. C'est correcte?

Hors ligne

#18 08-11-2017 11:11:00

bib
Membre
Inscription : 23-09-2017
Messages : 187

Re : Dérivée dans D'

Bonjour,
on a calculé $f'$ (la dérivée au sens des distributions de $f(x)=|\cos(x)|$) et on a obtenu
$$
<f',\varphi>=\sum_{k \in \mathbb{Z}} (\displaystyle\int_{a_{2k}}^{a_{2k+1}} \sin(x) \varphi(x) dx - \displaystyle\int_{a_{2k+1}}^{a_{2k+2}} \sin(x) \varphi(x) dx)
$$
Pour $f''$: on remarque que $f'$ a des sauts, donc on devrait obtenir des Dirac. Voici ce que j'obtiens:
$$
<f'',\varphi>= \sum_{k\in \mathbb{Z}} (-2 \sin(a_{2k+1}) \varphi(a_{2k+1})+ \sin(a_{2k}) \varphi(a_{2k})-\sin(a_{2k+1})\varphi(a_{2k+1})-\displaystyle\int_{a_{2k}}^{a_{2k+1}} \cos(x) \varphi(x) dx+ \displaystyle\int_{a_{2k+1}}^{a_{2k+2}} \cos(x) \varphi(x) dx
$$
Mais le théorème des sauts est donné pour un nombre fini de points, or qu'ici on fait la somme sur $\mathbb{Z}$! Il risque alors d'y avoir la non convergence. Non?
Merci par avance.

Dernière modification par bib (08-11-2017 11:11:33)

Hors ligne

#19 08-11-2017 12:01:34

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 707

Re : Dérivée dans D'

Non, car la somme est en fait finie (tu travailles sur une fonction à support compact).

Hors ligne

#20 08-11-2017 12:15:29

bib
Membre
Inscription : 23-09-2017
Messages : 187

Re : Dérivée dans D'

Ah ok, merci beaucoup!
Pour le résultat que j'ai obtenu, il est correct? Si oui, en fait j'ai du mal à appliquer la formule des sauts directement car je ne repère pas les points où $f'$ a des sauts. Une méthode pour les voir? S'il vous plait surtout quand on travail avec une fonction périodique.

Hors ligne

#21 08-11-2017 16:03:54

bib
Membre
Inscription : 23-09-2017
Messages : 187

Re : Dérivée dans D'

Mais si les indices (i.e. les points où il y a des sauts) tendent vers un nbre reel par ex 0 comme c'est le cas par ex de $1/n$ et que $\phi =1$ au voisinage de 0, la serie va diverger si les sauts sont par constants. Donc on fait comment dans ces cas? S'il vous plaît.

Hors ligne

#22 09-11-2017 14:33:28

Yassine
Membre
Inscription : 09-04-2013
Messages : 979

Re : Dérivée dans D'

Bonjour,
Ici, l'exercice concerne la dérivé au sens des distribution d'une fonction dont les discontinuités sont périodiques et donc une expression du type $\displaystyle \sum_{k \in \mathbb{Z}} \delta_{2k\pi}$ a bien un sens.
Pour une fonction plus "sauvage" dont les discontinuités seraient aux points $\dfrac{1}{n}$, il ne sera en général pas possible d'exprimer sa dérivé au sens des distribution aussi simplement.

L'objet de l'exercice est je pense de montrer que la formule des sauts, valable pour un nombre fini de discontinuités, peut être généralisée lorsque les discontinuités sont infinies et périodiques. Elle ne peut pas être généralisée à n'importe quel ensemble de points de discontinuité.


L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel

Hors ligne

#23 09-11-2017 15:30:41

bib
Membre
Inscription : 23-09-2017
Messages : 187

Re : Dérivée dans D'

Bonjour Yassine
Comment est-ce que la périodicité des sauts implique la convergence de la série? S'il vous plaît.

Hors ligne

#24 09-11-2017 16:50:54

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 707

Re : Dérivée dans D'

Ce n'est pas la périodicité des sauts qui entraîne la convergence de la série c'est le fait qu'ils tendent vers l'infini. Yassine a juste parlé de périodicité car dans ton exemple la fonction est périodique. L'argument pour la convergence est dans le post 19.

Hors ligne

#25 09-11-2017 16:58:12

bib
Membre
Inscription : 23-09-2017
Messages : 187

Re : Dérivée dans D'

mais dans mon post 21 j'ai donné un cas où il n y a pas convergence de la série. Ce cas existe bien. Non?

Hors ligne

Réponse rapide

Veuillez composer votre message et l'envoyer
Nom (obligatoire)

E-mail (obligatoire)

Message (obligatoire)

Programme anti-spam : Afin de lutter contre le spam, nous vous demandons de bien vouloir répondre à la question suivante. Après inscription sur le site, vous n'aurez plus à répondre à ces questions.

Quel est le résultat de cette opération? 3+7=

Pied de page des forums