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#1 05-11-2017 07:58:09

MaT88
Membre
Inscription : 06-10-2017
Messages : 10

Rayon de convergence

Salut,

J' ai une question à propos du rayon de convergence d'une série entière.
Soit la série entière  [tex]\sum_{k=0}^{n}{(\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{z}{n!}}^n)}^k[/tex].
Sachant que le rayon de convergence de la série intérieure est infini je me demandais si on peut déduire que le rayon de convergence de la série extérieure est aussi infini.

Merci.

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#2 05-11-2017 10:04:06

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 701

Re : Rayon de convergence

Il y a un problème d'indice dans tes sommes. La somme extérieure ne peut pas être entre 0 et n si l'indice de sommation à l'intérieur est sur n...

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#3 05-11-2017 10:48:27

MaT88
Membre
Inscription : 06-10-2017
Messages : 10

Re : Rayon de convergence

Ah oui vous avez raison, je me suis trompée en écrivant la borne supérieure de l'intégrale extérieure, c'est : [tex]\sum_{k=0}^{\infty}{(\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{z}{n!}}^n)}^k[/tex]

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#4 05-11-2017 18:10:19

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 701

Re : Rayon de convergence

Alors non, on ne peut pas en déduire que le rayon de convergence de la série extérieure est aussi infinie.
D'abord, la première question à se poser est : quelle est la série entière extérieure? Est-ce que tu développes formellement la puissance $k$ qui est à l'intérieur, puis tu regroupes les termes de même degré???


F.

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#5 05-11-2017 19:55:53

MaT88
Membre
Inscription : 06-10-2017
Messages : 10

Re : Rayon de convergence

Oui c'est exactement ça.
En effet, j'ai obtenu cette série en développant f(z)= [tex]\frac{1}{2-e^z}[/tex] en une série entière au voisinage de 0 et je cherche à trouver son rayon de convergence.

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#6 05-11-2017 20:16:03

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 701

Re : Rayon de convergence

Ah, je comprends mieux! Alors tu as oublié quelque chose de très important, il y a des $1/2^k$ qui doivent être ajoutés!

Pour trouver le rayon de convergence, il suffit de revenir à la définition et regarder quand est-ce que, pour $R>0$, la série
$$\sum_{k=0}^{+\infty}\frac 1{2^k}\left(\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{R^n}{n!}\right)^k$ converge. C'est important d'abord pour justifier que l'on puisse développer correctement et permuter les sommes, afin d'obtenir réellement une série entière, et aussi pour le rayon de convergence.

Ici, ce n'est pas très dur, car
$$\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{R^n}{n!}=e^R$$
et donc tu cherches les réels positifs $R$ pour lesquels la série
$$\sum_{k\geq 0}\frac1{2^k}e^{Rk}=\sum_{k\geq 0}\left(\frac{e^R}{2}\right)^k$$
converge.

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