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#1 05-11-2017 19:45:51
- bib
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Dérivée dans D'
Bonjour,
soit $f$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=|\cos(x)|$. Je cherche à calculer la dérivée de $f$ au sens des distributions.
Alors voilà, puisque $f \in L^1(\mathbb{R})$, alors elle définie une distribution $T_f$ donnée par
$$
\forall \varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}): <T_f,\varphi>= \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} |\cos(x)| \varphi(x) dx.
$$
$|\cos(x)|$ n'est pas de classe $C^1$ elle n'est pas dérivables aux points $x$ où $\cos(x)=0$ donc elle n'est pas dérivable aux points $a_k=\dfrac{\pi}{2}+k\pi, k \in \mathbb{Z}$. Par contre elle est continue sur tout $\mathbb{R}$ donc elle n'admet pas de sauts. Ainsi, $(T_f)'=T_{f'}$, mais comment calculer $f'$? S'il vous plaît.
Dernière modification par bib (05-11-2017 20:14:27)
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#2 05-11-2017 21:21:03
- bib
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Re : Dérivée dans D'
Alors la question est de calculer la dérivée au sens des distributions de la fonction $f(x)= |\cos(x)|$ qui est définie sur $\mathbb{R}$. Donc en premier en remarque que $f \in L^1(\mathbb{R})$, donc elle définie une distribution $T_f$, et en second on remarque que $f$ est continue sur tout $\mathbb{R}$, il n'y a pas de sauts, donc $(T_f)'= T_{f'}$.
Si on était sur l'intérvalle $]-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{3 \pi}{2}[$, alors il est clair que la distribution définie par $f$ est
$$
\forall \varphi \in \mathcal{D}(]-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{3 \pi}{2}[):
<T_f,\varphi>= \displaystyle\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos(x) \varphi(x) dx - \displaystyle\int_{\pi/2}^{3 \pi/2} \cos(x) \varphi(x) dx
$$
Ma question est: comment utiliser le fait que $f$ soit de période $\pi$ pour définir $T_f$ sout tout $\mathbb{R}$? S'il vous plaît. Aidez moi s'il vous plaît.
Dernière modification par bib (05-11-2017 21:21:45)
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#3 05-11-2017 21:47:52
- Fred
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Re : Dérivée dans D'
Il faut que tu enlèves la valeur absolue. La question est donc : sur quels intervalles a-t-on $f(x)=\cos x$ et sur quels intervalles a-t-on $f(x)=-\cos x$. Sur les intervalles où $f(x)=\cos x$, on a $f'(x)=-\sin x$ et sur les intervalles où $f(x)=-\cos x$, on a $f'(x)=\sin x$.
F.
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#4 05-11-2017 21:54:35
- bib
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Re : Dérivée dans D'
Oui, si on était sur l'intervalle $]- \pi/2, 3 \pi/2[$ alors c'est simple, on a $|\cos(x)|= \cos(x)$ sur $]- \pi/2, \pi/2[$ et $|\cos(x)|= - \cos(x)$ sur $]\pi/2,2 \pi/2[$ mais comment généraliser pour tout $x \in \R$? S'il vous plaît.
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#6 05-11-2017 22:45:53
- bib
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Re : Dérivée dans D'
Moi j'ai pensé à ca: on note $a_k= \pi/2+k \pi$ où $k \in \mathbb{Z}$, et on a
$$
<f,\varphi> = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} (\displaystyle\int_{a_{2k}}^{a_{2k+1}} - \cos(x) \varphi(x) dx +\displaystyle\int_{a_{2k+1}}^{a_{2k+2}} \cos(x) \varphi(x) dx)
$$
Donc
$$
<f',\varphi>= \sum_{k=-\infty}^{+\infty} (\displaystyle\int_{a_{2k}}^{a_{2k+1}} - \cos(x) \varphi'(x) dx +\displaystyle\int_{a_{2k+1}}^{a_{2k+2}} \cos(x) \varphi'(x) dx)
$$
et on fait une ipp sur chaque intégrale.
Vous avez une solution plus simple? S'il vous plaît.
Dernière modification par bib (05-11-2017 22:46:10)
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#7 06-11-2017 00:27:54
- bib
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Re : Dérivée dans D'
J'ai une autre question s'il vous plaît. On considère la fonction $g$ définie de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$, $2 \pi$ périodique telle que $g(x)=x$ pour tout $x \in [0,2 \pi[$. Je cherche à calculer $g'$ au sens des distributions. Alors on commence par remarquer que $g$ est de classe $C^1$ par morceaux, mais elle a des sauts aux points $2 k \pi$ et $2(k+1)\pi[$
Maintenant, $g$ est périodique sur $\mathbb{R}$ de periode $2 \pi$. Puisqu'elle est $L^1_{loc}$ elle définie la distribution
$$
<g,\varphi>= \sum_{k \in \mathbb{Z}} \displaystyle\int_{2 k \pi}^{2(k+1)\pi} g(x) \varphi(x) dx.
$$
Donc
$$
<g',\varphi>=-<g,\varphi'>= - \displaystyle\int_{2 k \pi}^{2(k+1)\pi} g(x) \varphi'(x) dx= - \displaystyle\int_{2 k \pi}^{2(k+1)\pi} x \varphi(x) dx
$$
on calcule $ \displaystyle\int_{2 k \pi}^{2(k+1)\pi} x \varphi(x) dx$ par ipp, et on a
$$
\displaystyle\int_{2 k \pi}^{2(k+1)\pi} x \varphi(x) dx= [x \varphi(x)]_{2k\pi}^{2(k+1)\pi} -\displaystyle\int_{2k \pi}^{2(k+1)\pi} \varphi(x) dx.
$$
Mais puisque $g$ est periodique alors $g(2 k \pi)= g(2(k+1)\pi)=0$ mais ça me fait bizarre d'écrire que ça implique que $[x \varphi(x)]_{2k\pi}^{2(k+1)\pi} \neq 0$ vu que $g$ est nulle en ces deux points. Je suis perturbée par ce point.
Dernière modification par bib (06-11-2017 00:30:24)
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#8 06-11-2017 10:05:58
- Fred
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Re : Dérivée dans D'
On n'a pas $g(x)=x$ sur $[2k\pi,2(k+1)\pi[$ mais $g(x)=x-2k\pi$!!!!!
Ensuite, quand tu calcules l'intégrale entre $2k\pi$ et $2(k+1)\pi$, fais comme si tu calculais l'intégrale entre $2k\pi+\epsilon$ et $2(k+1)\pi-\epsilon$ et fait tendre $\epsilon$ vers 0.
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#9 06-11-2017 11:31:53
- Yassine
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Re : Dérivée dans D'
Bonjour,
Il n'y a pas que $g$ qui soit périodique, les questions de bib (alias tina) le sont également : voir ici, discussion quasi-identique !
L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel
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#11 06-11-2017 20:30:10
- bib
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Re : Dérivée dans D'
une fonction $ \pi$ périodique veut dire que $g(x+ 2 \pi)= g(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$, avec le fait que $g(x)=x$ pour tout $x \in [0,2\pi[$ comment combiner ces deux informations pour montrer que $(g)=x-2 k \pi$ sur $[2k\pi, 2(k+1)\pi[$? S'il vous plaît
Dernière modification par bib (06-11-2017 20:36:10)
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#12 06-11-2017 21:17:58
- Yassine
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Re : Dérivée dans D'
Bonsoir,
La notion de distribution fait partie des sujets avancés qui supposent un bagage mathématique solide.
Il est donc inhabituel de voir quelqu'un aborder ce sujet et galérer sur des notions de base.
Si tu prends $x \in \mathbb{R}$, alors, il existe un unique $k \in \mathbb{Z}$ tel que $2k\pi \le x < 2(k+1)\pi$ (c'est la partie entière de $\dfrac{x}{2\pi}$). En retranchant $2k\pi$ à cette inégalité, on a alors $0 \le x - 2k\pi < 2\pi$ et je pose $y=x - 2k\pi$. Donc $y \in [0,2\pi[$, je sais donc calculer $g(y)$ : $g(y)=y$.
Maintenant, $g$ est périodique, donc $g(y+2k\pi)=g(y)=y$. En remettant $x$ dans cette égalité, on trouve $g(x)=x - 2k\pi$
L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel
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#14 06-11-2017 21:59:09
- Yassine
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Re : Dérivée dans D'
Je ne sais pas si c'est plus facile à "voire". Mais c'est facile à dessiner et tu devrais faire l'effort de le faire.
L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel
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#15 06-11-2017 22:07:06
- bib
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Re : Dérivée dans D'
Ok, c'est reglé pour la periodicité.
Pour le calcul de $g'$, j'obtient ceci:
$$
<g',\varphi>=-<g',\varphi'>= -\sum_{k \in \mathbb{Z}} \displaystyle\int_{2 k \pi}^{2(k+1)\pi} (x-2k\pi) \varphi'(x) dx.
$$
en appliquant l'ipp, on a
$$
\displaystyle\int_{2k\pi}^{2(k+1)\pi} (x-2k\pi) \varphi'(x) dx= [(x-2k\pi)\varphi(x)]_{2k\pi}^{2(k+1)\pi}-\displaystyle\int_{2k\pi}^{2(k+1)\pi} \varphi(x) dx= 2 \pi \varphi(2(k+1)\pi)-\displaystyle\int_{2k\pi}^{2(k+1)\pi} \varphi(x) dx
$$
donc
$$
<g',\varphi>=-(2\pi) \varphi(2(k+1)\pi)+\displaystyle\int_{2k\pi}^{2(k+1)\pi} \varphi(x) dx
$$
mais il me semble que ce n'est pas le même résultat obtenu dans l'ancien fil. Comment savoir si mon résultat est bon? S'il vous plaît.
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#18 08-11-2017 13:11:00
- bib
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Re : Dérivée dans D'
Bonjour,
on a calculé $f'$ (la dérivée au sens des distributions de $f(x)=|\cos(x)|$) et on a obtenu
$$
<f',\varphi>=\sum_{k \in \mathbb{Z}} (\displaystyle\int_{a_{2k}}^{a_{2k+1}} \sin(x) \varphi(x) dx - \displaystyle\int_{a_{2k+1}}^{a_{2k+2}} \sin(x) \varphi(x) dx)
$$
Pour $f''$: on remarque que $f'$ a des sauts, donc on devrait obtenir des Dirac. Voici ce que j'obtiens:
$$
<f'',\varphi>= \sum_{k\in \mathbb{Z}} (-2 \sin(a_{2k+1}) \varphi(a_{2k+1})+ \sin(a_{2k}) \varphi(a_{2k})-\sin(a_{2k+1})\varphi(a_{2k+1})-\displaystyle\int_{a_{2k}}^{a_{2k+1}} \cos(x) \varphi(x) dx+ \displaystyle\int_{a_{2k+1}}^{a_{2k+2}} \cos(x) \varphi(x) dx
$$
Mais le théorème des sauts est donné pour un nombre fini de points, or qu'ici on fait la somme sur $\mathbb{Z}$! Il risque alors d'y avoir la non convergence. Non?
Merci par avance.
Dernière modification par bib (08-11-2017 13:11:33)
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#20 08-11-2017 14:15:29
- bib
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Re : Dérivée dans D'
Ah ok, merci beaucoup!
Pour le résultat que j'ai obtenu, il est correct? Si oui, en fait j'ai du mal à appliquer la formule des sauts directement car je ne repère pas les points où $f'$ a des sauts. Une méthode pour les voir? S'il vous plait surtout quand on travail avec une fonction périodique.
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#21 08-11-2017 18:03:54
- bib
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Re : Dérivée dans D'
Mais si les indices (i.e. les points où il y a des sauts) tendent vers un nbre reel par ex 0 comme c'est le cas par ex de $1/n$ et que $\phi =1$ au voisinage de 0, la serie va diverger si les sauts sont par constants. Donc on fait comment dans ces cas? S'il vous plaît.
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#22 09-11-2017 16:33:28
- Yassine
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Re : Dérivée dans D'
Bonjour,
Ici, l'exercice concerne la dérivé au sens des distribution d'une fonction dont les discontinuités sont périodiques et donc une expression du type $\displaystyle \sum_{k \in \mathbb{Z}} \delta_{2k\pi}$ a bien un sens.
Pour une fonction plus "sauvage" dont les discontinuités seraient aux points $\dfrac{1}{n}$, il ne sera en général pas possible d'exprimer sa dérivé au sens des distribution aussi simplement.
L'objet de l'exercice est je pense de montrer que la formule des sauts, valable pour un nombre fini de discontinuités, peut être généralisée lorsque les discontinuités sont infinies et périodiques. Elle ne peut pas être généralisée à n'importe quel ensemble de points de discontinuité.
L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel
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#24 09-11-2017 18:50:54
- Fred
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Re : Dérivée dans D'
Ce n'est pas la périodicité des sauts qui entraîne la convergence de la série c'est le fait qu'ils tendent vers l'infini. Yassine a juste parlé de périodicité car dans ton exemple la fonction est périodique. L'argument pour la convergence est dans le post 19.
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