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#1 01-11-2017 18:57:28
- bib
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(log |x|)'
Bonjour,
je lis que la dérivée au sens des distributions de $\log |x|$ est $vp \dfrac{1}{x}$.
Ma question est comment montrer déjà que $\log|x| \in L^1_{loc}(\mathbb{R})$. Elle n'est même pas définie en 0 donc je suis perturbée, je ne vois pas comment on montrer qu'elle est $L^1_{loc}$ sur $\mathbb{R}$ tout entier.
Merci par avance pour votre aide.
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#3 01-11-2017 21:39:58
- bib
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Re : (log |x|)'
Oui, je sais la calculer. O a
$$
\displaystyle\int_0^1 \log(x) dx= \lim_{\epsilon \to 0} \displaystyle\int_{\epsilon}^1 \log(x) dx = -1.
$$
Ma question est: comment on montre rigouteusement que $\log|x| \in L^1_{loc}(\mathbb{R})$? S'il vous plaît.
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#5 02-11-2017 00:15:15
- bib
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Re : (log |x|)'
D'accord, c'est réglé pour ce point. Je cherche maintenant à calculer $\log|x|$ au sens des distributions. Puisque $\log |x| \in L^1_{loc}(\mathbb{R})$ alors elle définie une distribution sur $\mathbb{R}$ par:
$$
\forall \varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}): <\log|x|,\varphi>= \lim_{\epsilon \to 0} \displaystyle\int_{-\infty}^{\epsilon} \log(-x) \varphi(x) dx + \displaystyle\int_{\epsilon}^{+\infty} \log(x) \varphi(x) dx.
$$
et comme $Supp(\varphi) \subset [-a,a]$ avec $a>0$ alors on écrit
$$
<\log|x|,\varphi>= \lim_{\epsilon \to 0} (\displaystyle\int_{-a}^{\epsilon} \log(-x) \varphi(x) dx + \displaystyle\int_{\epsilon}^{+a} \log(x) \varphi(x) dx).
$$
Je veux appliquer le théorème des sauts mais je ne sais pas comment. Est-ce qu'on peut appeler le point $x=0$ un saut or que $\log|x|$ n'est même définie au point $x=0$? S'il vous plaît.
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#7 02-11-2017 12:01:15
- bib
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Re : (log |x|)'
Ok, alors voici ce que j'ai fait. Soit $\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$, alors $Supp(\varphi) \subset [-a,a]$ avec $a>0$. On a:
$$
<(\log|x|)',\varphi>=-<\log|x|,\varphi'> = -\lim_{\epsilon \to 0} (\displaystyle\int_{-a}^{\epsilon} \log(-x) \varphi'(x) dx + \displaystyle\int_{\epsilon}^a \log(x) \varphi'(x) dx)
$$
On applique l'ipp pour calculer $\displaystyle\int_{-a}^{\epsilon} \log(-x) \varphi'(x) dx$. On a:
$$
\displaystyle\int_{-a}^{\epsilon} \log(-x) \varphi'(x) dx= [\log(-x) \varphi(x)]_{-a}^{\epsilon}+ \displaystyle\int_{-a}^{\epsilon} \dfrac{\varphi(x)}{x} dx
$$
donc
$$
-\lim_{\epsilon \to 0} \displaystyle\int_{-a}^{\epsilon} \log(-x) \varphi'(x) dx = -\lim_{\epsilon \to 0} (\log(\epsilon) \varphi(\epsilon))
-\lim_{\epsilon \to 0} \displaystyle\int_{-a}^{\epsilon} \dfrac{\varphi(x)}{x} dx
$$
Puis on applique l'ipp pour calculer $\displaystyle\int_{\epsilon}^a \log(x) \varphi'(x) dx$. On trouve
$$
\displaystyle\int_{\epsilon}^a \log(x) \varphi'(x) dx= [\log(x) \varphi(x)]_{\epsilon}^a -\displaystyle\int_{\epsilon}^a \dfrac{\varphi(x)}{x} dx
$$
donc
$$
-\lim_{\epsilon \to 0} \displaystyle\int_{\epsilon}^a \log(x) \varphi'(x) dx= \lim_{\epsilon \to 0} (\log(\epsilon) \varphi(\epsilon))+ \lim_{\epsilon \to 0} \displaystyle\int_{\epsilon}^a \dfrac{\varphi(x)}{x} dx
$$
Donc
$$
<(\log|x|)',\varphi>= \lim_{\epsilon \to 0} (\displaystyle\int_{\epsilon}^a \dfrac{\varphi(x)}{x}dx - \displaystyle\int_{-a}^{\epsilon} \dfrac{\varphi(x)}{x} dx)
$$
Je n'obtiens pas $vp \dfrac{1}{x}$. Où est le problème? S'il vous plaît.
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#12 04-11-2017 22:08:00
- bib
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Re : (log |x|)'
S'il vous plaît, la distribution que définie $\log|x|$ sur $\mathbb{R}$ est pour tout $\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$:
$$
<\log|x|,\varphi>= \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \log|x| \varphi(x) dx
$$
On écrit
$$
\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \log|x| \varphi(x) dx= \lim_{\epsilon \to 0} (\displaystyle\int_{-\infty}^{-\epsilon} \log(-x) dx + \displaystyle\int_{-\epsilon}^{\epsilon} \log|x| dx + \displaystyle\int_{\epsilon}^{+\infty} \log|x| \varphi(x) dx
$$
Je n'arrive pas à comprendre pourquoi $\lim_{\epsilon \to 0} \displaystyle\int_{-\epsilon}^{\epsilon} \log|x| \varphi(x) dx=0$?
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#15 05-11-2017 21:45:22
- Fred
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Re : (log |x|)'
Parce que si tu as une fonction intégrable $f$ disons sur $[a,b]$, on a toujours $\int_a^{a+\epsilon}f(t)dt\to 0$. Ceci se démontre en appliquant le théorème de convergence dominée à $f\mathbf 1_{[a,a+\epsilon]}$.
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#18 05-11-2017 22:44:13
- bib
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Re : (log |x|)'
$\displaystyle\int_{-\epsilon}^{\epsilon} \log|x| dx= \displaystyle\int_{-\epsilon}^{2\epsilon - \epsilon} \log|x|$ donc la limite est nulle. Mais vous, vous avez intégrer entre $a$ et $a+\epsilon$ et là on ajoute pas $\epsilon$ mais $2 \epsilon$! C'est pareil? S'il vous plaît.
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#21 06-11-2017 17:27:13
- bib
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Re : (log |x|)'
Bonjour,
j'ai une question un peu bête mais je la pose quand même.
$\log|x|$ est définie sur $\mathbb{R}^\star$, elle n'est pas définie au point $x=0$ alors comment elle peut être intégrable sur $\mathbb{R}$ tout entier? S'il vous plaît.
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