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#1 04-11-2017 17:32:24
- stephaniegil
- Invité
application mesurable
Bonsoir, j'ai besoin de votre aide pour resoudre cet exercice :
Soit $(E,\mathcal{A})$ un espace mesurable et on suppose qu'il existe A non vide de $\mathcal{A}$ tel que pour tout $B \in \mathcal{A}, B\subset A \Rightarrow (B=A \ ou \ B= \emptyset)$
Prouver que toute fonction mesurable de $(E,\mathcal{A}) \ dans \ (\mathbb{R},B(\mathbb{R}))$ est constante.
Pour verifier cela, j'ai pris $x, y \in E$ et je veux prouver que $f(x)=f(y)$
or $f^{-1}\left\{f(x) \right\} \in \mathcal{A}$ mais je ne sais pas comment continuer, alors que faut-il faire?
merci d'avance.
#2 04-11-2017 18:05:52
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 055
Re : application mesurable
Bonjour
Tu es sûre de tes hypothèses car j'ai l'impression que c'est faux. Si je prends $ E=\{1,2,3\} $ avec la tribu $ \{\varnothing,E,\{1,2\},\{3\}\} $ et f(1)=f(2)=0 et f(2)=1 il me semble qu'on tien un contre exemple.
F
En ligne
#3 05-11-2017 10:38:16
- Stephaniegil
- Invité
Re : application mesurable
Salut, excusez moi cst sur l'ens A
#5 05-11-2017 13:17:08
- stephaniegil
- Invité
Re : application mesurable
prouver que f est const sur A et pas sur E!! (j'ai mal copié la donnée)
est ce que'on peut resoudre de la facon suivante:
Soit $x, y \in A.$ prouvons que f(x)=f(y).
f est mesurable alors $f^{-1}(\left\{f(x) \right\}) \in \mathcal{A}.$
or $(f^{-1}(\left\{f(x) \right\}) \cap A)\subset A$ alors $(f^{-1}(\left\{f(x) \right\}) \cap A)=\emptyset \ ou \ (f^{-1}(\left\{f(x) \right\}) \cap A)=A $
Donc :
$A\subset f^{-1}(\left\{f(x) \right\}) \ ou \ f^{-1}(\left\{f(x) \right\}) \subset A^{C}$
mais $y\in A$ alors f(x)=f(y)
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