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#1 05-11-2017 08:58:09
- MaT88
- Membre
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- Messages : 11
Rayon de convergence
Salut,
J' ai une question à propos du rayon de convergence d'une série entière.
Soit la série entière [tex]\sum_{k=0}^{n}{(\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{z}{n!}}^n)}^k[/tex].
Sachant que le rayon de convergence de la série intérieure est infini je me demandais si on peut déduire que le rayon de convergence de la série extérieure est aussi infini.
Merci.
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#4 05-11-2017 19:10:19
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 035
Re : Rayon de convergence
Alors non, on ne peut pas en déduire que le rayon de convergence de la série extérieure est aussi infinie.
D'abord, la première question à se poser est : quelle est la série entière extérieure? Est-ce que tu développes formellement la puissance $k$ qui est à l'intérieur, puis tu regroupes les termes de même degré???
F.
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#6 05-11-2017 21:16:03
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 035
Re : Rayon de convergence
Ah, je comprends mieux! Alors tu as oublié quelque chose de très important, il y a des $1/2^k$ qui doivent être ajoutés!
Pour trouver le rayon de convergence, il suffit de revenir à la définition et regarder quand est-ce que, pour $R>0$, la série
$$\sum_{k=0}^{+\infty}\frac 1{2^k}\left(\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{R^n}{n!}\right)^k$ converge. C'est important d'abord pour justifier que l'on puisse développer correctement et permuter les sommes, afin d'obtenir réellement une série entière, et aussi pour le rayon de convergence.
Ici, ce n'est pas très dur, car
$$\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{R^n}{n!}=e^R$$
et donc tu cherches les réels positifs $R$ pour lesquels la série
$$\sum_{k\geq 0}\frac1{2^k}e^{Rk}=\sum_{k\geq 0}\left(\frac{e^R}{2}\right)^k$$
converge.
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